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Niveau Maths sup
relation d'ordre total sur C
Posté par sgu35
Bonsoir,
dans mon livre on nous dit qu'il n'existe sur C aucune relation d'ordre total <= compatible avec les opérations d'addition et de multiplication, c'est-à-dire vérifiant les propriétés :
z'<=z'' => z+z'<=z+z''
et
z'<=z'' avec 0<=z =>zz'<=zz''
Puis on nous indique que si c'était le cas, les complexes i et -i seraient de signe contraire, et leur produit serait donc négatif, or on a i(-i)=1>0
Comment arrive-t-on à ce résultat?
Bonjour sgu35.
Supposons .
On a donc en multipliant par (supposé positif) que
et en remultipliant par
que
. Absurde.
Non ! pas besoin : à partir du moment où tu as c'est fini, ça veut dire que ta relation d'ordre n'est pas compatible.
Citation :
Puis on nous indique que si c'était le cas, les complexes i et -i seraient de signe contraire, et leur produit serait donc négatif, or on a i(-i)=1>0
Puis on nous indique que si c'était le cas, les complexes i et -i seraient de signe contraire, et leur produit serait donc négatif, or on a i(-i)=1>0
C'est inexact car on peut toujours arguer que dans la relation d'ordre étudiée, on a 1 < 0.
Bonjour à tous, je voudrais revenir sur une chose : comment sait-on que i et -i sont de signe contraire ?
Autre chose : quand on écrit -i < 0 < i, de quel opérateur s'agit-il ? De la relation d'ordre <= ou de la relation < (strictement inférieur) agissant sur deux réels?
La définition mathématique de "x et y sont de signe contraire" est x=<0<=y ou y=<0<=x, sachant que 0 a les deux signes.
sgu35 @ 17-05-2021 à 07:57
Autre chose : quand on écrit -i < 0 < i, de quel opérateur s'agit-il ? De la relation d'ordre <= ou de la relation < (strictement inférieur) agissant sur deux réels?
Autre chose : quand on écrit -i < 0 < i, de quel opérateur s'agit-il ? De la relation d'ordre <= ou de la relation < (strictement inférieur) agissant sur deux réels?
Il s'agit d'une relation d'ordre QUELCONQUE sur C dont on suppose qu'elle est compatible avec les opérations de corps.
Sinon, x et y sont de signes contraires si, tout simplement, x+y=0.
Euh non tu as raison pour les signes contraires, ce que je t'ai donné, c'est la définition de « opposé ».
sgu35 @ 17-05-2021 à 08:23
Comment sait-on que i-i=0? S'agit-il de l'opérateur adition (+) opérant sur 2 nombres complexes?
Comment sait-on que i-i=0? S'agit-il de l'opérateur adition (+) opérant sur 2 nombres complexes?
i-i est par définition la contraction de i + (-i) où l'objet noté -i est l'opposé de l'objet i.
Ok, donc si on résume on a i+(-i)=0 donc i et -i sont opposés et par conséquent sont de signes contraires.
et on sait que le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. Or ici i*(-i)=1 donc il n'existe sur C aucune relation d'ordre total <= compatible avec les opérations d'addition et de multiplication.
jsvdb @ 06-11-2020 à 23:13
C'est inexact car on peut toujours arguer que dans la relation d'ordre étudiée, on a 1 < 0.
Citation :
Puis on nous indique que si c'était le cas, les complexes i et -i seraient de signe contraire, et leur produit serait donc négatif, or on a i(-i)=1>0
Puis on nous indique que si c'était le cas, les complexes i et -i seraient de signe contraire, et leur produit serait donc négatif, or on a i(-i)=1>0
C'est inexact car on peut toujours arguer que dans la relation d'ordre étudiée, on a 1 < 0.
L'argument donné dans la citation est tout à fait exact. Dans un corps ordonné (par un ordre total compatible avec les opérations du corps), on a nécessairement 1>0.
Comment sait-on que 1>0 dans n'importe quel corps ordonné par un ordre total compatible avec les opérations du corps?
Tu le fais par l'absurde :
Si tu as 1 < 0 et si z > 0 alors par compatibilité de la multiplication avec la relation d'ordre, tu as 1.z < 0.z et donc z < 0, ce qui est absurde.
Tu peux aussi, mais bon, à priori, dans un corps non réduit à un seul élément, on a . Donc
et
donnent
.
On a donc un corps muni d'un ordre total
qui vérifie :
(i) ,
(ii) .
Je te laisse démontrer que tout carré est positif ou nul (et par conséquent ). (Indication : si
, alors
).
Citation :
dans un corps non réduit à un seul élément
dans un corps non réduit à un seul élément
Un corps n'est jamais réduit à un élément.
Franchement, je trouve que tu poses une drôle de question ! Es-tu vraiment déstabilisé par cette question d'ordre sur au point de douter de ça ?
Donc ta réponse est oui?
Je pense que c'est vrai car -z=-1*z et (-z)*(-z)=(-1)*(-1)*z*z=z² car la multiplication est commutative dans le corps .
sgu35, tu es en première année de licence ? à Rennes, si j'en crois le 35 ?
La commutativité de la multiplication n'a rien à faire ici. Dans tout anneau, commutatif ou non, car
et de même
. Par conséquent
.
Bonjour à tous
au fait sgu35, tu ne sembles plus être en terminale ! peux-tu modifier ton profil s'il te plaît
je te remercie
Donc si je récapitule :
Si et
, on obtient
, soit
ce qui contredit la propriété des corps que 1>0.
De plus, si et
, on obtient de même
, soit
, ce qui contredit aussi cette même propriété.
D'où : il n'existe sur aucune relation d'ordre total compatible avec les opérations d'addition et de multiplication.
Variante : dans un corps ordonné, tout carré est positif. Donc 1 est positif, et -1 est négatif. Or -1 est un carré dans . Donc
ne peut pas être ordonné en tant que corps.
Bonjour
il l'a expliqué plus haut .... donc
On peut aussi dire que si une relation d'ordre était compatible avec la structure de corps, tous les éléments de seraient positifs, puisque tous sont des carrés.
Mézalor ! donc
et
donc
, et ce pour tous x,y complexes.... finalement, tous les complexes seraient égaux, ça se saurait (outre le fait que comme l'a aussi déjà rappelé GBZM,
dans un corps)
S'il te plait, sgu35, fais l'effort de réfléchir posément à ce qui est écrit.
Si lafol a écrit "tous les éléments seraient positifs", ça vaut pour et ça vaut aussi pour
.