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Relation entre deux fonctions

Posté par
Nico86 19-12-05 à 12:06

Je suis en train de faire un exercice et je ne peux pas le continuer sans la relation que l'on doit montrer :
Soit A(k)=\int_0^{1} u^{x+k-1}(1-u)^{n-k}du avec x>0 et 0\le k\le n.
Déterminer une relation liant A(k) et A(k+1).
J'ai essayé un changement de variable, une intégraption par partie, ... mais ça ne mène pas à grand chose.
Est-ce que quelqu'un aurait une idée ?

Merci

Posté par philoux (invité)re : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 12:15

bonjour

par IPP en posant "u"=(1-u)^(n-k) et "dv"=u^(n+k-1)du

tu ne parviens pas à faire apparaître du A(k+1) ?

Philoux

Posté par boss (invité)Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 12:31


essaie peut etre de faire le rapport de A(k+1) et et de A(k)
si on appelle f(u)   la fonction de lintégrale

A(k) = int f(u) du

A(k+1) = int u(1-u)f(u) du


en faisant le rapport :


R = A(k+1)/A(k) = int u(1-u)f(u) du  /  int f(u) du

R= int u(1-u)  du


Tu pe maintenant calculer R ..

cela reste a vérifier

    

Posté par
Nico86Réponse à Philoux 19-12-05 à 12:49

Non, ça ne marche pas car "dv" n'est pas égale à u^(n+k-1)du mais à u^(x+k-1).
J'avais essayé de cette manière, mais je n'ai rien trouvé

Nicolas

Posté par
Nico86Réponse à Boss 19-12-05 à 12:50

On a le droit de simplifier R comme tu le fais ?
Je n'ai jamais vu cela auparavant !!

Nicolas

Posté par philoux (invité)re : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 12:53

sauf erreur, Nico, dans une IPP un "dv" doit contenir un "d quelquechose"

donc si on pose "u"=(1-u)^(n-k) alors, obligatoirement "dv"=u^(n+k-1)du

Philoux

Posté par boss (invité)Nico86 19-12-05 à 12:54


tu ve dire si   int(f*g) = int(f)*int(g)  
                int(f/g) = int(f)/int(g)  ????????


je dirais oui mais demande confirmation ou regarde les propriétés des intégrales  

Posté par
Nico86Philoux 19-12-05 à 12:59

Excuse-moi, je me suis mal exprimé. Le problème n'était pas le "du" mais le n à la place du x : dv=u^(x+k-1)du et non dv=u^(n+k-1). Tu vois ce que je veux dire ?

Nicolas

Posté par
Nico86Boss 19-12-05 à 13:00

Peut-être que la propriété est juste mais ici, on n'a pas, sauf erreur de ma part :
int(f*g) = int(f)*int(g) ?

Nicolas

Posté par boss (invité) Nico86 19-12-05 à 13:10


en posant :

f(u) = u^(x+k-1)(1-u)^(n-k)


si la propriéte est vrai ona alors

   A(k+1) = int u(1-u)*f(u)du        
          = int(u(1-u))du  *  int f(u) du


est ce que tu vois ce que je ve dire??

Posté par
Nico86Boss 19-12-05 à 13:35

Oui, je vois bien ce que tu veux dire. Mais la propriété int(f*g) = int(f)*int(g) est fausse en général, non ?

Nicolas

Posté par philoux (invité)re : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 13:39

Excuse-moi, je me suis mal exprimé. Le problème n'était pas le "du" mais le n à la place du x : dv=u^(x+k-1)du et non dv=u^(n+k-1). Tu vois ce que je veux dire ?

Ok , je comprends mieux ta remarque.

Philoux

Posté par boss (invité)re : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 14:08


excuse moi .. tu as raison

c vrai la propriété est fausse  


bonne chance ..

Posté par
Youpire : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 14:56

normalement en posant :
f^'= u^{x+k-1}
et g=(1-u)^{n-k}
je trouve A(k)=\frac{n-k}{x+k}A(k+1)
sauf erreur de ma part

Posté par
Nico86Youpi 19-12-05 à 15:14

Je te remercie Youpi, ça me permet de continuer l'exercice. Mais pourrais-tu me dire comment tu as fait s'il te plait ?

Merci

Nicolas

Posté par
Youpire : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 15:26

donc en prenant f' et g tel que précisé dans le message précédant on a en intégrant par partie:
4$ f=\frac{u^{x+k}}{x+k}
et 4$ g^'=-(n-k)(1-u)^{n-k-1}
donc 4$ A(k)=\int_0^{1} u^{x+k-1}(1-u)^{n-k}du=[\frac{u^{x+k}}{x+k}\times (1-u)^{n-k}]_0^1-\int_0^{1} \frac{u^{x+k}}{x+k}\times (-(n-k)(1-u)^{n-k-1})du
donc comme 4$ [\frac{u^{x+k}}{x+k}\times (1-u)^{n-k}]_0^1=0
alors 4$ A(k)=\int_0^{1} \frac{u^{x+k}}{x+k}\times (-(n-k)(1-u)^{n-k-1})du
soit 4$ A(k)=\frac{n-k}{x+k}\int_0^{1} {u^{x+k}}(1-u)^{n-k-1}du
donc 4$ A(k)=\frac{n-k}{x+k}A(k+1)

n'hésite pas à me dire si tu trouve une erreur dans mon raisonnement ou  dans mes calculs !

Posté par
Youpire : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 15:30

il y ajuste l'oubli d'un signe - dans l'avant avant dernière ligne de calcul mais je pense que tu réctifieras de toi même.

Posté par
Nico86Youpi 19-12-05 à 15:34

En fait, j'avais commencé comme toi mais j'avais une grossière erreur de calcul que je n'avais pas vu. Ce qui avait pour conséquence de ne pas me faire retomber sur A(k+1) à la fin.
Je te remercie beaucoup pour ton aide.

Nicolas

Posté par
Youpire : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 15:38

De rien ce fut un plaisir

Posté par
Nico86Re 19-12-05 à 15:40

Et pour calculer A(0), à part développer avec la formule du binôme (1-u)^n, ce qui donne à la fin un calcul assez lourd, est-ce que vous auriez une solution plus "subtile" ?

Merci

Nico

Posté par
Youpire : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 15:46

est ce que x est un réel ?

Posté par
Nico86re : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 15:53

oui, x>0 et n un naturel.

Posté par
Youpire : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 15:58

J'ai effectivement une solution moins lourde que de développer avec la formule du binôme
on a : 3$ A(0)=\frac{n}{x}A(1)
et 3$ A(1)=\frac{n-1}{x+1}A(2)
donc 3$ A(0)=\frac{n(n-1)}{x(x+1)}A(1)

par récurrence on trouve donc :
3$ A(0)=\frac{n!}{x(x+1)(x+2)....(x+n-1)}A(n)
or 3$ A(n)=\frac{1}{x+n} (je ne détail pas ce calcul trivial)
donc 3$ A(0)=\frac{n!}{x(x+1)(x+2)....(x+n)}


Posté par
Youpire : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 15:59

Est-ce que cela te convient ?

Posté par
Nico86re : Relation entre deux fonctions 19-12-05 à 16:03

Ah oui, c'est nettement meilleur !!!
Franchement, merci beaucoup !! Tu m'as bien aidé !

Nicolas


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