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Relation entre loi binomiale et loi binomiale négative

Posté par
datapowa 15-03-18 à 14:57

Bonjour à tous,

Je suis étudiant à Dauphine et je bloque sur un exercice lié aux v.a :

Soit X une v.a binomiale négative de paramètre r et p et Y une variable aléatoire binomiale de paramètre n et p.

1) Prouver sans calcul que P(X > n) = P(Y < r).
2) Donner une preuve analytique.

Pour la question 1,  on considère une suite de v.a aléatoire de loi de Bernoulli et on voit que l'évènement X > n, ie le rang du r-ième succès est supérieur à n, est équivalent à l'évènement Y < r, ie le nombre de succès lors des n premiers essais est d'au plus r-1.

Pour la question 2, je bloque complètement ... J'ai commencé par écrire :

P(X > n) = \sum_{n+1}^{\infty}{k -1 \choose r-1}{p^{r}}{(1-p)^{k-r} = 1 - \sum_{0}^{n}{k -1 \choose r-1}{p^{r}}{(1-p)^{k-r}

Ensuite j'ai essayé de transformer ma dernière somme pour faire apparaître P(Y < r) mais je n'aboutis pas. Je sais qu'il y a plusieurs manières d'écrire la loi binomiale négative, mais je n'avance pas.

Si quelqu'un pouvait un peu m'aiguiller ... Merci beaucoup !


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