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relation fonctionnelle ln

Posté par
Baptiste11 09-02-19 à 14:38

Bonjour, j'ai un exercice de conversion avec la fonction ln et je suis bloqué sur plusieurs points :

Citation :
1. Utiliser la relation fonctionnelle pour résoudre dans ]0;+\infty[ les inéquations :

a) \ln x + \ln (3x) > \ln75

b) 2\ln > -\ln\frac{1}{4}

c) \ln x \leq 2\ln2 +\ln3

d) \ln x - 2\ln x \geq \ln5

2. Utiliser la relation fonctionnelle de ln pour donner la plus petite valeur de l'entier n telle que :

a) (1.1)^n > 3

b) (0.7)^n \leq 0.2


c) \frac{2^n}{3^n} \leq 1

d) (\frac{1}{2})^n*5^n \geq 7


Je n'arrive pas au d) du 1. :

\ln x - 2\ln x \geq \ln 5
\ln x -\ln x^2 \geq \ln 5
\ln x + \ln \frac{1}{x^2} \geq \ln 5
                  \ln x \geq \ln 5
                  \ln x \geq \ln 5x^2
                       x \geq 5x^2
                       0 \geq 5x^2 - x
                       0 \geq x(5x -1)

5x-1 = 0 \\ x = \frac{1}{5}

donc \ln x - 2\ln x \geq \ln 5 pour ]0 ; \frac{1}{5}]

J'ai l'impression de me tromper ?

Et pour le a) du 2. je ne sais même pas commencer.
Merci de votre aide.

Posté par
malou Webmasterre : relation fonctionnelle ln 09-02-19 à 14:41

1d) ta 4e ligne est fausse

2a) prendre le log des deux membres

Posté par
Camélia Correcteurre : relation fonctionnelle ln 09-02-19 à 14:42

Bonjour

Ton 1.d) me parait bizarre. \ln(x)-2\ln(x)=-\ln(x) et l'inégalité est immédiate.

Pour 2.a) prends le logarithme des deux membres.

Posté par
Glapion Moderateurre : relation fonctionnelle ln 09-02-19 à 14:44

non ln x + ln( 1/x²) ça fait - ln (x) et pas +
(d'ailleurs dès le début ln x - 2ln x = - ln x)

-ln x ln 5 ln x - ln 5 x ?? etc ...

Posté par
Baptiste11re : relation fonctionnelle ln 09-02-19 à 14:52


\ln x - 2\ln x \geq \ln 5
               -\ln x \geq \ln 5
                   \ln \frac{1}{x} \geq \ln 5
                        \frac{1}{x} \geq 5
                         \frac{1}{5} \geq x

donc \ln x - 2\ln x \geq \ln 5 pour ]0 ; \frac{1}{5} ]

2. a) Je ne comprends, prendre le logarithme des deux membres ?

Posté par
Camélia Correcteurre : relation fonctionnelle ln 09-02-19 à 14:54

Ok pour 1), mais l'énoncé est vraiment bizarre.


Pour 2) comme le logarithme est une fonction croissante, on a a\ge b si et seulement si \ln(a) \ge \ln(b).

Posté par
Glapion Moderateurre : relation fonctionnelle ln 09-02-19 à 14:56

OK pour 1d.

Prends le logarithme des deux membres de (1.1)^n > 3

rappel : ln an = n ln a

Posté par
Baptiste11re : relation fonctionnelle ln 09-02-19 à 15:00

     a \leq b
\ln a \geq \ln b

donc (1.1)^n > 3
                  \ln 3 < \ln(1.1^n)
                  \ln 3 < n\ln(1.1)

Et ensuite je ne vois pas quoi faire ?

Posté par
Glapion Moderateurre : relation fonctionnelle ln 09-02-19 à 15:03

non si la fonction ln est croissante alors a \leq b ln a \leq ln b pourquoi changer le sens de l'inégalité ?

Posté par
Glapion Moderateurre : relation fonctionnelle ln 09-02-19 à 15:04

\ln 3 < n\ln(1.1) il ne te reste qu'à isoler n

Posté par
Baptiste11re : relation fonctionnelle ln 09-02-19 à 15:10


(1.1)^n > 3      
     \ln 3 < \ln(1.1^n)
     \ln 3 < n\ln(1.1)
   \frac{\ln 3}{\ln 1.1} < n

Je peux simplifier   \frac{\ln 3}{\ln 1.1} ?

Posté par
Glapion Moderateurre : relation fonctionnelle ln 09-02-19 à 15:16

Citation :
Je peux simplifier \frac{\ln 3}{\ln 1.1} ?


non mais tu peux le calculer avec une calculatrice, et d'ailleurs on te demande la plus petite valeur de n donc il te suffit d'arrondir le résultat à l'entier supérieur de ce que ton calcul va donner.


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