Relation polynômiale

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Relation polynômiale
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fusionfroide  08-06-07 à 19:28
Salut 

Soit  et soit la relation : 

Déterminer 

Bonne réflexion et réponses masquées svp
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_Estelle_re : Relation polynômiale  08-06-07 à 21:25
Salut FF 

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Même si je sais que je rêve, tu ne pourrais pas préciser le niveau approximatif à chaque fois ? Juste pour avoir une idée 

Estelle 
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infophilere : Relation polynômiale  08-06-07 à 23:42
Salut FF 

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J'ai du mal tu n'aurais pas un nain dix ? 

Mis à part montrer que  et calculer différentes valeurs genre :

Je ne vois pas de motifs à priori...

Bref je suis bloqué 
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fusionfroidere : Relation polynômiale  09-06-07 à 00:30
Indice >> 
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déterminer le dégré de P

Un autre indice cet après-midi 
 Posté par 
infophilere : Relation polynômiale  09-06-07 à 00:34
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Je l'avais déjà fait mais je suis pas sûr de moi, je trouve du premier degré, tu confirmes ? (Avant que je poursuives).
 Posté par 
fusionfroidere : Relation polynômiale  09-06-07 à 00:38
Kévin >>

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Non ce n'est pas du premier degré. Suppose P de degré n, écris P(2x) et P(x+1) et fait tendre x vers l'infini dans la relation...
 Posté par 
infophilere : Relation polynômiale  09-06-07 à 00:39
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Oui j'ai dis n'importe quoi on voit tout de suite que c'est pas du premier degré 
 Posté par 
Cauchyre : Relation polynômiale  09-06-07 à 00:51
Salut,

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Juste un petit test du nouveau blanqué 
 Posté par 
mikayaoure : Relation polynômiale  09-06-07 à 00:54
bonsoir

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P(2x)/P(x+1) = 8x/(x+7)

si P(x) = ax^n+... il s'avère que P(x) est du 3° degré pour avoir une limite=8 en l'infini

P(x) = ax^3+bx²+cx+d

P(0)=0 => d=0

P(1)=1 => a+b+c = 1

P(3/2) = 27a/8 + 9b/4 + 3c/2 = (27a+18b+12c)/8 = 15/8 => 9a + 6b + 4c = 5

P(7/4) = P(3/2)( 6/(7+3/4) ) = (15/8)(24/31) = 45/31

suis-je sur la bonne voix pour avoir un syst. 3éq. 3 inconnues a, b et c et déterminer P(-1) = -a+b-c ?
 Posté par 
fusionfroidere : Relation polynômiale  09-06-07 à 00:59
Mikayaou >> 
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oui c'est la bonne méthode 
 Posté par 
mikayaoure : Relation polynômiale  09-06-07 à 01:01
merci et bonne nuit 

 Posté par 
mikayaoure : Relation polynômiale  09-06-07 à 09:28
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je continue - et corrige - ce qui était commencé ce matin, de bonne heure :

P(7/4) = P(3/2)/( 6/(7+3/4) ) = (15/8)/(24/31) 

P(7/4) = 155/64

343a/64 + 49b/16 + 7c/4 = 155/64 = 7(49a + 28b + 16c)/64 

49a + 28b + 16c = 155/7

on a donc le système :

a + b + c = 1

9a + 6b + 4c = 5

49a +28b + 16c = 155/7

on trouve a = 1/21, b = 8/21, c = 12/21 => P(x) = x(x² + 8x + 12)/21

ce qui donne P(-1) = -5/21

vérifions P(2x) = 2x(4x² + 16x + 12)/21 = 8x(x² + 4x + 3)/21 = 8x( (x+1)² +2x+2 )/21 = 8x(x+1)(x+3)/21

et P(x+1) = (x+1)(x² + 10x + 21)/21  = (x+1)(x+3)(x+7)/21

faisons P(2x)/P(x+1) = ( 8x(x+1)(x+3)/21 )/( (x+1)(x+3)(x+7)/21 => P(2x)/P(x+1) = 8x/(x+7)

soit aussi P(2x)/P(x+1) = 8 - 56/(x+7)

Merci pour cette J...FF

 Posté par 
mikayaoure : Relation polynômiale  09-06-07 à 09:40
pour répondre à la question d'Estelle, hier à 21:25, le niveau requis peut-être celui d'une première... sauf erreur

 Posté par 
Fractalre : Relation polynômiale  09-06-07 à 11:38
Bonjour 

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Sans regarder les indices.

P est un polynôme, c'est bien ça?

Dans ce cas, soit n son degré, et on regarde ce que devient l'inégalité en .

Le membre de droite tend clairement vers 8, tandis que le membre de gauche tend vers  où a est le coefficient dominant du polynôme.

On en déduit alors que P est de degré 3.

En prenant x=0 dans l'égalité, on trouve  et en faisant tendre x vers -7, on trouve que -6 est également racine de P.

Donc P est de la forme .

On a ainsi 

Ces deux fractions rationnelles étant égales (sur l'intersection de leurs domaines de définition), on en déduit que la première se simplifie en la deuxième, donc qu'il y a (x+1) en facteur au numérateur du premier membre (on peut aussi faire tendre x vers -1 pour le montrer).

Ce facteur est nécessairement (2ax+b), donc on a 2a=b.

Comme P(1)=1, on a également 7(a+b)=1, donc on en déduit que  et 

On peut alors répondre à la question posée :  soit  

Fractal 
 Posté par 
mikayaoure : Relation polynômiale  09-06-07 à 11:47
bien vu Fractal : encore plus expéditif et élégant 

 Posté par 
Fractalre : Relation polynômiale  09-06-07 à 11:48
Merci mikayaou 

Fractal 
 Posté par 
_Estelle_re : Relation polynômiale  09-06-07 à 16:58
Mikayaou >> 
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Il faut au mons une dizaine d'indices ou de questions intermédiaires alors 

Si tu me les fournis, j'essaie 

Estelle 
 Posté par 
mikayaoure : Relation polynômiale  09-06-07 à 17:06
Estelle : FusionFroide se fera un plaisir de te les fournir 

 Posté par 
Fractalre : Relation polynômiale  09-06-07 à 17:30
Estelle -> Commence déjà par voir ce que tu peux faire avec l'indice qu'il a donné à 00:30 

Fractal 
 Posté par 
Skopsre : Relation polynômiale  09-06-07 à 18:02
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Dans le polynôme P de degré 3, je trouve d=0 et c=4, c'est juste ?

Skops 
 Posté par 
Skopsre : Relation polynômiale  09-06-07 à 18:06
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Non c'est faux ^^

Skops 
 Posté par 
_Estelle_re : Relation polynômiale  09-06-07 à 19:12
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Comment fait-on pour déterminer le degré d'un polynôme ?

Estelle 
 Posté par 
Skopsre : Relation polynômiale  09-06-07 à 19:20
Estelle >>

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Prend un polynôme P de degré n et traduis les informations de l'énoncé. Fais tendre x vers +oo et regarde

Skops 
 Posté par 
_Estelle_re : Relation polynômiale  09-06-07 à 19:30
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C'est ça ? Et ensuite ?

Estelle 
 Posté par 
Fractalre : Relation polynômiale  09-06-07 à 19:31
Estelle -> 
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 Attention, là tu as calculé 2P(x) et P(x)+1.

Fractal 
 Posté par 
_Estelle_re : Relation polynômiale  09-06-07 à 19:34
 merci Fractal.

Estelle 
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Skopsre : Relation polynômiale  09-06-07 à 19:35
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Tu dois remplacer x par 2x et x par x+1

Ensuite, tu fais le quotient des deux et tu étudies la limite en +oo en tenant compte de l'égalité encadré.

Skops 
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minkus re : Relation polynômiale  10-06-07 à 16:50
Salut,

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Je trouve facilement P(0)=0 mais le reste ne donne rien. P est-il un polynome ? Ce n'est pas precise...
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fusionfroidere : Relation polynômiale  10-06-07 à 16:58
Oui P est un polynôme
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mikayaouc'est assez fréquent que le titre ne soit pas vraiment lu   11-06-07 à 09:40

 Posté par 
_Estelle_Et si   11-06-07 à 10:00

Estelle 
 Posté par 
mikayaoupas par tous, Estelle   11-06-07 à 10:06
.
 Posté par 
minkus re : Relation polynômiale  11-06-07 à 10:20
BVMN mika j'avais bien lu le titre mais il me semblait d'une certaine façon que la relation pouvait être polynomiale sans que P soit un polynome.

D'autre part je pensais au début que l'exercice consistait à trouver des valeurs bien choisies de x pour arriver à P(-1) comme on peut le faire avec certaines relations.
 Posté par 
minkus re : Relation polynômiale  11-06-07 à 10:22
En tout cas je peux dire que je lis au moins le titre du message initial mais il est vrai que les titres des réponses m'échappent souvent 
  Posté par 
mikayaoure : Relation polynômiale  11-06-07 à 10:30
oui minkus

pour ma part, sauf exception ici, pour le fun avec estelle, je ne lis pratiquement jamais les titres des réponses...

par ailleurs, il eut été vicieux, par fusionfroide, que la fameuse " relation polynômiale " ne fasse pas intervenir des polynômes qu'il a appelé P(x)