Niveau Prepa (autre)

relations binaires

Posté par
aya4545 30-09-22 à 15:41

bonjour
un coup de pouce s il vous plait pour achever cet exercice

on définie dans R² la relation << par
pour tout (x;y) (x';y')  de R² (x;y)<<(x';y')  ssi  |x'-x| $\leq$ y'-y
1) mq << est une relation d ordre
2)cet ordre est il total justifier
3)soient u=(a;b) et v=(x;y) de R²
a) mq u<<v  ssi $b\leq y et a+b \leq x+y et x-y \leq a-b$
b) sit E l ensemble des majorants de (1;2) determiner E et representer E dans le plan P
c) soit F  l ensemble des minorants  de (1;2) determiner F et lerepresenter dans le plan P
4) $D=\{ (x;y) \in \R²  x²+y² \leq 1\}$
a) determiner les tangentes au cercle unitaire aux points $(\frac{\sqrt2}2;\frac{\sqrt2}2)  et (\frac{-\sqrt2}2;\frac{\sqrt2}2)$ et en deduire que
$\forall (x;y) \in D \lvert x \rvert \leq \sqrt 2- y$
b) en deduire que D est majoré dans (R² ;<<)
c) montrer que si w =(a;b)est un majorant de Dalors $(0;\sqrt 2)<< w$
d) en deduire que Dadmet une borne superieure et donner sa valeur
dmq que D  n admet plus de plus grand element

je bloque dans  4)c) ce que j ai fait
w=(a;b) est un majorant de D ssi $\forall (x;y) \in D (x;y) << (a;b) ssi  \forall (x;y) \in D  \lvert a-x \rvert \leq b-y$

montrons que $\lvert a\rvert\leq b-\sqrt 2$
$\lvert a\rvert- \lvert x \rvert\leq  \lvert a-x \rvert \leq y-b \implies   \lvert a \rvert\leq  \lvert x \rvert +\lvert a-x \rvert\leq b-y +\sqrt 2-y$   je trouve rien

d) evident  je n ai pas cherché le e) et merci

Posté par re : relations binaires 30-09-22 à 22:11

Bonjour aya4545

$\large\boxed{4)~c)}$ si $w=(a,b)$ est un majorant de $D$ on doit avoir en particulier $(\frac{\sqrt2}2;\frac{\sqrt2}2)<<(a,b)$ et $(\frac{-\sqrt2}2;\frac{\sqrt2}2)<<(a,b)$

ce qui s'écrit $\left|a-\frac{\sqrt2}2\right|\leqslant b-\frac{\sqrt2}2$ et $\left|a+\frac{\sqrt2}2\right|\leqslant b-\frac{\sqrt2}2$

et donc en élevant au carré $\left|a-\frac{\sqrt2}2\right|^2\leqslant(b-\frac{\sqrt2}2)^2$ et $\left|a+\frac{\sqrt2}2\right|^2\leqslant(b-\frac{\sqrt2}2)^2$

c'est à dire $a^2-a\sqrt2+\frac{1}{2}\leqslant b^2-b\sqrt2+\frac{1}{2}$ et $a^2+a\sqrt2+\frac{1}{2}\leqslant b^2-b\sqrt2+\frac{1}{2}$

ce qui s'écrit aussi $\Large\boxed{(b-a)(b+a-\sqrt2)\geqslant0}$ et $\Large\boxed{(b+a)(b-a-\sqrt2)\geqslant0}$

et comme $(0,1)\in D$ on a $(0,1)<<(a,b)$ et donc $|a|\leqslant b-1<b$ ce qui donne $b-a>0$ et $b+a>0$

les deux encadrés permettent alors de conclure _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Posté par re : relations binaires 30-09-22 à 22:33

bonsoir
mercielhor_abdelali j ai réservé pour cette question plus d une heure mais en vain rien de spéciale de toute façon ce n est pas du temps perdue , en parallèle j ai appris beaucoup de choses
encore une fois merci

Posté par re : relations binaires 30-09-22 à 22:59

C'est un plaisir aya4545

Posté par re : relations binaires 30-09-22 à 23:01

pour 4)d) facile (raisonner par absurde)

Posté par re : relations binaires 01-10-22 à 00:26

$\large\boxed{4)~d)}$ il est clair qu'on a montré jusqu'ici que $(0,\sqrt2)$ est le plus petit des majorants de $D$

d'où (par définition de la borne supérieure) $\large\boxed{\sup D=(0,\sqrt2)}$

$\large\boxed{4)~e)}$ et comme il est clair aussi que $\large\boxed{(0,\sqrt2)\notin D}$ on conclut que $D$ n'admet pas de plus grand élément.

Posté par re : relations binaires 01-10-22 à 12:15

bonjour
merci elhor_abdelali
j ai dit encore que si [b](a;b)[/b] est plus  grand  élément  de D alors (a;b) elemend de D et (a;b) majorant de D

$(a;b) \in D \implies _{4)a)}  \forall (x;y) \in D \lvert a \rvert \leq \sqrt 2- b$

(a;b)est un majorant de D alors $(0;\sqrt 2)<< w \implies   \lvert a\rvert\leq b-\sqrt 2$
$\implies  \lvert a \rvert =0   et   0\leq b-\sqrt 2$
$\implies b\geq \sqrt 2$
$\implies a²+b² > 1$ absurde car $(a;b) \in D$
Mais j ai cherché midi a 14h  car j ai oublié que $\sup D =(0;\sqrt 2)$
encore une fois merci elhor_abdelali et bonne journée pour tous les iliens et iliennes

Posté par re : relations binaires 01-10-22 à 14:52

De rien aya4545

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