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relations binaires

Posté par
aya4545
01-10-22 à 16:41

bonjour
prière m orienter et merci

E ensemble non vide  et \sigmaune permutation de E dans E \sigma^0=id_E    et  \sigma ^k =\sigma \circ \sigma ^{k-1} \forall k \in \N^{*}
1) mq   \forall n \in \N^{*} \hspace \sigma ^n  est une  permutation
2) on suppose qu il existe q de \N^* tq \sigma ^q =id_E  
a) mq l existence p=\min \{k \in \N^*=id_E \}
b) en deduire \sigma^{-1} en fonction  de \sigma et p
3) on definie sur E R_{\sigma} par :
\forall a b \in E a R_{\sigma} b \iff \exists  k \in  \[0;p-1\] b=\sigma ^k (a)
montrer que  R_{\sigma} est une relation d equivalence
soit a element de E determine la classe de a

Posté par
GBZM
re : relations binaires 01-10-22 à 16:46

Bonjour,
Tu as un bouton "Aperçu" sous la fenêtre d'édition de messages. Utilise-le pour éviter de poster des messages illisibles.

Posté par
aya4545
re : relations binaires 01-10-22 à 16:53

bonjour
prière m orienter et merci

E ensemble non vide  et \sigmaune permutation de E dans E \sigma^0=id_E    et  \sigma ^k =\sigma \circ \sigma ^{k-1} \forall k \in \N^{*}
1) mq   \forall n \in \N^{*} \hspace \sigma ^n  est une  permutation
2) on suppose qu il existe q de \N^* tq \sigma ^q =id_E  
a) mq l existence p=\min \{k \in \N^*=id_E \}
b) en deduire \sigma^{-1} en fonction  de \sigma et p
3) on definie sur E R_{\sigma}   par :
\forall a ;b \in E a R_{\sigma} b \iff  \exists  k  \in  [0;p-1] b=\sigma ^k (a)
montrer que  R_{\sigma} est une relation d equivalence
soit a element de E determine la classe de a

je m excuse au lieu d appuyer sur  aperçu j ai appuyé sur poster

je bloque sur  classe de a ( a élément de E)

je me suis aperçue sur des exemples
que : si \sigma un   seule élément invariant t de E
alors  il y aura deux classes celle de t qui contient seulement l element t et une autre classe qui contient le reste
si \sigma admet  deux elements invariant  t et z alors il ya trois classes ...
s il n ya pas d element invariant  il y a une seule classe
et merci

Posté par
aya4545
re : relations binaires 01-10-22 à 17:20

  je m excuse je m excuse au lieu d appuyer sur  aperçu j ai appuyé sur poster
pour la 2 eme question
montrer   \forall n \in \N^{*}   \hspace  \sigma ^n   est une permutation

Posté par
GBZM
re : relations binaires 01-10-22 à 17:30

Non, ce que tu dis n'est pas vrai
Prends  pour \sigma le produit des deux cycles disjoints (1,2,3) et (4,5,6,7) sur {1,2,3,4,5,6,7}.

Posté par
aya4545
re : relations binaires 01-10-22 à 17:41

merci GBZM  on n a pas encore vu les cycles  le bagage que que je procède est celui de la terminal sc maths

Posté par
GBZM
re : relations binaires 01-10-22 à 17:47

\large\begin{array}{ccccccc}1&2&3&4&5&6&7\\\hline 2&3&1&5&6&7&4\end{array}

Posté par
aya4545
re : relations binaires 01-10-22 à 18:03

\large\begin{array}{ccccccc}1&2&3&4&5&6&7\\\hline 2&3&1&5&6&7&4  \\
 \\ 3&1&2&6&7&4&5 \\
 \\ 1&2&3&7&4&5&6 \\
 \\ 1&2&3&4&5&6&7
 \\ \end{array}
donc il y aura 2 classes \{1;2;3\} et \{4;5;6;7\}

Posté par
aya4545
re : relations binaires 01-10-22 à 18:15


d apres  le net  jai trouvé  que
\large\begin{array}{ccc}1&2&3 \\ 2&3&1\end{array} et \large\begin{array}{cccc}4&5&6&7\\ 5&6&7&4\end{array} sont deux transpositions de [1;7]

Posté par
aya4545
re : relations binaires 01-10-22 à 18:16

pardon 2 cycles de [17]

Posté par
aya4545
re : relations binaires 01-10-22 à 18:21

donc pour cet exemple
\large\begin{array}{ccccccc}1&2&3&4&5&6&7\\ 2&3&4&5&6&7&1\end{array} il yaurait une seule classe

Posté par
aya4545
re : relations binaires 01-10-22 à 18:29

soit \sigma une permutation a n elements
si  \sigma est un cycle alors une seule classe d equvalence

Posté par
GBZM
re : relations binaires 01-10-22 à 18:38

Tu t'es trompée en calculant les puissances de la permutation que je t'ai donnée (la dernière ligne dans ton message est fausse). Corrige.

Posté par
aya4545
re : relations binaires 01-10-22 à 21:18

bonsoir
merci GBZM oui  j ai pas fait les calculs mais des que j ai trouvé dans l avant derniere ligne \sigma ^3= id_E donc {1;2;3} est globalement invariant par \sigma^ k  \forall  k \in [ 1 n]  c est un cycle qui se répète (2;3;1);(3;1;2);(1;2;3)

Posté par
aya4545
re : relations binaires 01-10-22 à 21:28

maintenant
soit a \in E
si a est invariant par  \sigma alors \overline a =\{a\}
si a est élément d un cycle de E  (a_1;a_2;.....a_p)  (a=a_i i\in [1;p]) alors  \overline a =\{a_1...a_p\}

Posté par
aya4545
re : relations binaires 01-10-22 à 22:27

on peut écrire aussi \overline a=\{\sigma^k(a)\}

Posté par
GBZM
re : relations binaires 02-10-22 à 10:47

Non, on n'a pas \sigma^3= \mathrm{Id} pour la permutation \sigma que j'ai donnée.
Quel est le plus petit p>0 tel que \sigma^p=\mathrm{Id} ?

Posté par
aya4545
re : relations binaires 02-10-22 à 22:55

bonsoir
je m excuse de ce retard étant donné que je n ai pas pu accéder à ile de maths  voici le message d erreur Error 503 Backend fetch failed

on   a        \sigma_{|\{1,2,3\}}^4=id_\{1,2,3\}   et   \sigma_{|\{4,5,6,7\}}^3=id_\{4,5,6,7\}   \implies \sigma ^{12}=id

Posté par
GBZM
re : relations binaires 02-10-22 à 23:28

Tu t'es mélangé les pinceaux dans ta justification.

Posté par
aya4545
re : relations binaires 02-10-22 à 23:31

oui c est exact

Posté par
aya4545
re : relations binaires 02-10-22 à 23:33



on   a        \sigma_{|\{1,2,3\}}^3=id_\{1,2,3\}   et   \sigma_{|\{4,5,6,7\}}^4=id_\{4,5,6,7\}   \implies \sigma ^{12}=id

Posté par
GBZM
re : relations binaires 03-10-22 à 08:56

OK, mais le fait que c'est la plus petite puissance pour laquelle on trouve l'identité n'est pas vraiment justifié.

Posté par
aya4545
re : relations binaires 03-10-22 à 21:53

bonsoir
pour le cycle {1,2,3} on tombe sur l identité apres composition 3 fois donc \sigma_{|\{1,2,3\}\}^{3k}=id_\{1,2,3\} de meme
\sigma_{|\{4,5,6,7\}}^{4k}=id_\{4,5,6,7\} donc

\sigma_{|\{1,2,3,4,5,6,7\}}^{ppmc(3,4)k}=id_\{1,2,3,4,5,6,7\}   k\in \N^*
donc le plus petit entier tel que
\sigma_{|\{1,2,3,4,5,6,7\}}^{12k}=id_\{1,2,3,4,5,6,7\}   k\in \N^*
est    12 (k=1)

Posté par
GBZM
re : relations binaires 04-10-22 à 11:22

Je dirais plutôt : \sigma^p(1)=1 si et seulement si 3 divise p, \sigma^p(4)=4 si et seulement si 4 divise p, donc si \sigma^p=\mathrm{Id} alors 12 divise p.

Posté par
aya4545
re : relations binaires 04-10-22 à 14:21

merciGBZM



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