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Remboursement.

Posté par
Joconde
14-07-21 à 19:01

Bonsoir chers membres 😁. Voici un exercice,  en fait j'ai pas encore traité ce genre donc du coup...

Une  entreprise  s'adresse  à  une  banque  pour  emprunter  110410  dinars.  La  banque  lui propose  un  remboursement  au  moyen  d'une  série  de  12  annuités  constantes  de  fin  de période  aux  taux  de  8%  les  4  premières  années,  9%  les  4  années  suivantes  et  10%  les  4 dernières  années.   1)  Calculer  le  montant  de  l'annuité.

2)  Déterminer  le  taux  effectif  annuel  d'intérêt  de  cet  emprunt  auprès  de  la banque

Posté par
Joconde
re : Remboursement. 14-07-21 à 19:08

En fait j'ai pensé utiliser la capitalisation.  Mais le problème se situe au  niveau des intérêts.

Posté par
Vertigo
re : Remboursement. 14-07-21 à 20:32

Bonsoir Joconde,

Êtes-vous arrivé à écrire l'équation permettant le calcul du montant de l'annuité constante demandé à la 1ère question ?
Vous pouvez le faire aussi bien par capitalisation que par actualisation.
Pour la 2ème question, il  faudra bien faire la différence entre le taux effectif global annuel (c'est celui qui vous est demandé) et le taux moyen du prêt sur sa durée entière.
Cette question devrait permettre d'illustrer la différence entre ces deux concepts de taux global et de taux moyen, qui ne sont pas confondus dans les opérations à taux variables (ce qui est le cas en l'espèce.

À vous lire..

Bien cordialement

Vertigo

Posté par
Vertigo
re : Remboursement. 15-07-21 à 12:13

Bonjour Joconde,

Eh bien, vous n'êtes pas déjà découragé ?

Votre idée d'utiliser la capitalisation est bonne puisque c'est une solution possible sinon la plus simple.

Afin de poursuivre dans cette voie, vous pouvez commencer par le plus facile : le calcul de la valeur acquise par le prêt de 110410 Dinars à la fin de l'opération, c'est à dire 12 ans après son versement.

Pour faire ce calcul, ne perdez pas de vue qu'il s'agit d'une opération à taux variables, et donc que le taux n'est pas constant sur toute la durée de l'opération.

N'hésitez pas à vous lancer, je rectifierai les éventuelles erreurs..

Bien cordialement.

Vertigo

Posté par
Joconde
re : Remboursement. 15-07-21 à 15:38

Bonjour Vertigo , et merci pour vos indications.

Bon, j'ai posé cette équation:

\sum_{k=1}^{12}{(1+i_{k})^_{-k}} = 110410

Posté par
Joconde
re : Remboursement. 15-07-21 à 15:40

Joconde @ 15-07-2021 à 15:38

Bonjour Vertigo , et merci pour vos indications.

Bon, j'ai posé cette équation:

\sum_{k=1}^{12}{(1+i_{k})^_{-k}} = 110410
oups ! J'ai oublié l'annuité constante 😁. Sinon j'ai opté pour une actualisation !

Posté par
Vertigo
re : Remboursement. 15-07-21 à 16:36

Bon, finalement, vous avez opté pour l'application du principe d'équivalence des flux réciproques à l'origine de la suite d'annuités (date de versement du prêt).
Pourquoi pas ? c'est tout à fait possible aussi et cela vous conduira à la bonne solution, mais deux remarques sur votre formule :
D'abord, comme vous l'avez mentionné, il manque le montant de l'annuité constante. appelons ce montant "a" par exemple.
Mais aussi et surtout, le i n'est pas constant sur les 12 ans que dure l'opération.
Votre formule ne pourra donc convenir telle quelle.
Je vous propose de procéder par étapes sur 3 groupes d'annuités :
Les 4 premières, puis les 4 suivantes, et enfin les 4 dernières.
Commençons par les 4 premières.
Sauriez-vous exprimer en fonction de a la valeur actuelle des ces 4 premières annuités à la date de versement du prêt, en appelant par exemple cette première valeur actuelle VA1 ?
Il faudra ensuite calculer les VA respectives des 4 suivantes VA2, puis des 4 dernières VA3 et écrire que la somme de ces 3 valeurs actuelles  est égale au montant du prêt.
Allons-y pour VA1 (c'est le plus facile, surtout si vous avez avez vu, dans votre cours, la formule donnant la valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes).
Bon courage..

Bien cordialement

Vertigo

Posté par
Joconde
re : Remboursement. 15-07-21 à 21:08

Bonsoir Vertigo.

Désolé j'avais un exam de probabilité donc du coup j'ai pas pu vous répondre à temps !

Déjà sur ma formule vous avez remarqué le k de i_{k} ! En fait je vais faire varier le taux pour k allant de 1 à 4, puis de 5 à 8, puis de 9 à 12 ! Et puis.. voilà ! Donc je sais pas si je suis dans la bonne logique ?

Posté par
Vertigo
re : Remboursement. 15-07-21 à 21:51

Bonsoir Joconde,
Aucun Pb pour les délais, j'ai tout mon temps.
J'espère que votre exam de proba s'est bien passé.
J'en reviens à l'exercice :
Donc, avec votre formule, la valeur actuelle de la 10ème annuité aurait pour expression :
a.1,10-10
Or, cette expression est fausse, car la VA de la 10ème annuité vaut en réalité :
a.1,10-2.1,09-4.1,08-4
Comme déjà dit, votre formule est donc inadéquate.
Voyons, vous ne devez avoir de difficulté pour exprimer VA1 (valeur actuelle des 4 premières annuités).
Vous devriez commencer par là; nous verrons ensuite pour VA2 et VA3

Bie c ordlt..

Vertigo

Posté par
Joconde
re : Remboursement. 15-07-21 à 22:08

Wooowh😲!! Je suis passé donc à côté ! Et puis ""merde""😂.

Donc ça serait mieux de faire un graphique de temps ?

Posté par
Vertigo
re : Remboursement. 15-07-21 à 22:40

Pourquoi pas, si ça peut vous aider..
Il faudrait surtout appliquer au cas d'espèce de l'énoncé la formule générale donnant la valeur actualisée à un instant t d'une suite quelconque  cash flows  dans le cas d'une opération financière à moyen ou long terme à taux variable, les intérêts étant composés.
Si cela vous convient, nous continuerons demain.

Bien cordlt..

Vertigo

Posté par
Joconde
re : Remboursement. 15-07-21 à 22:49

Vraiment merci pour votre temps que vous m'accorder🙏.

Cela dit je vais réviser cette nuit et je vous renverrai la résolution complète de ce que j'ai trouvé

Posté par
Vertigo
re : Remboursement. 16-07-21 à 19:47

Bonsoir Joconde,

Comme déjà indiqué, je ne saurais trop vous conseiller de précéder par étapes.

Voyons, le taux est constant durant les 4 premières années.

Qu'est-ce qui vous empêche, dès lors, de calculer, en fonction de leur montant constant a, la valeur actuelle VA1 des 4 premières annuités ?

Ce premier calcul est une stricte application de votre cours.

Nous calculerons ensuite VA2 puis enfin VA3, ce qui nous donnera une équation du 1er degré en a permettant de calculer cette inconnue demandée à la 1ère question de votre exercice.

À vous lire..

Bien cordlt..

Vertigo

Posté par
Joconde
re : Remboursement. 17-07-21 à 12:59

Bonjour Vertigo.

Voici ce que j'ai trouvé :

VA1=a\sum_{1}^{4}{1,08^_{-k}}

VA2=a\sum_{1}^{4}{1,09^_{-k}}1,08^_{-4}

VA3=a\sum_{1}^{4}{1,1^_{-k}}1,08^_{-4}1,09^_{-4}

Posté par
Vertigo
re : Remboursement. 17-07-21 à 16:36

Bonjour Joconde,

Oui, bravo, c'est çà.
Mais il y a moyen d'exprimer chacune de ces sommes d'un e manière plus ramassée !
Cf la formule donnant la valeur actuelle d'une suite de n annuités constantes de montant a, au taux annuel i.
Cette formule extrêmement classique est certainement dans votre cours, au chapitre "annuités".

À suivre.

Bon courage.

Vertigo

Posté par
Joconde
re : Remboursement. 17-07-21 à 17:07

Bonjour Vertigo.

Merci pour le temps accordé 🙏. Ça va beaucoup m'aider pour mon examen !

S'il vous plaît y a-t-il des cours de "choix des investissements" dans le site?

Posté par
Vertigo
re : Remboursement. 17-07-21 à 19:38

Bonsoir Joconde,
Désolé, je connais mal les ressources de ce site en matière de mathématiques financières, et notamment sur ce qui concerne l'étude de la rentabilité des investissements.
Sur ce qui a trait au crédit, je vois la fiche :
https://www.ilemaths.net/calcul-credit.php
Mais elle concerne vraiment le crédit et non la rentabilité des investissements.
Des contributeurs comme Pirho pourraient sans doute mieux vous renseigner que moi sur ce point.

Pour en revenir à l'exercice, vous avez trouvé le montant de l'annuité constante ?
Vous devez trouver 15034,02 Dinars.

Bien cordlt.

Vertigo

Posté par
Joconde
re : Remboursement. 17-07-21 à 22:00

Bonsoir Vertigo

J'ai trouvé 15034,012. Sans doute parceque je n'ai pas pris tous les chiffres après la  virgule 😅.

Posté par
Vertigo
re : Remboursement. 18-07-21 à 09:47

Bonjour Joconde,

Oui, c'est une question d'arrondi sur les résultats intermédiaires.
Il serait intéressant, si vous en avez le temps de vérifier que vous tombez sur la même équation en raisonnant sur les valeurs acquises des flux réciproques à la fin de l'opération.
Schématiquement, tous les flux seraient alors multipliés par le coefficient :
1,084.1,094.1,104
Ce produit de 3 facteurs représente le coefficient d'actualisation sur la durée totale de l'opération.

Et pour la 2ème question, avez-vous une idée  ?

Bien cordlt.

Vertigo

Posté par
Pirho
re : Remboursement. 18-07-21 à 10:13

Bonjour Vertigo

Vertigo @ 17-07-2021 à 19:38


https://www.ilemaths.net/calcul-credit.php
Mais elle concerne vraiment le crédit et non la rentabilité des investissements.
Des contributeurs comme Pirho pourraient sans doute mieux vous renseigner que moi sur ce point.

je pense que malheureusement il n'a y rien d'autre

Bon dimanche

Posté par
Vertigo
re : Remboursement. 18-07-21 à 11:30

Bonjour Pirho,

Merci de votre réponse.

Bon Dimanche également

Bien cordialement

Vertigo

Posté par
Joconde
re : Remboursement. 18-07-21 à 13:44

Bonjour.

Pour la deuxième question je pense qu'on devrait tout d'abord calculer l'intérêt moyen, puis appliquer la formule [(1+i/12)^12]-1 pour avoir le taux effectif.

Posté par
Vertigo
re : Remboursement. 21-07-21 à 21:11

Bonsoir Joconde,

Veuillez m'excuser pour le délai de réponse.
Je n'étais pas disponible ces deux derniers jours, et je me devais néanmoins d'apporter la solution complète de votre exercice.
Voici donc pour la 2ème question :
Ce qui vous est demande ici, c'est le taux global du prêt, c'est à dire le taux uniforme assurant l'équivalence des flux réciproques.
En d'autres termes, et en appliquant le principe d'équivalence des flux réciproques à la date origine de la suite d'annuité, c'est le taux Ig tel que :

110410D\; = \; 15034,02D\cdot \frac{1-\left ( 1+Ig \right)^{-12}}{Ig}{\color{Blue} }

Il n'existe pas de méthode algébrique de résolution d'une telle équation, mais la mise en œuvre d'un outil de calcul approprié (Par exemple la fonction financière TRI (taux de rendement interne) d'Excel, ou la fonction plus généraliste de recherche de valeur cible d'un tel tableur) retourne instantanément la racine significative de cette équation, qui est :
8,501802 % (avec arrondi à la 6ème décimale la plus proche)

Une fois cette valeur trouvée, il est possible d'en vérifier l'exactitude au moyen d'une simple calculette dotée de la fonction d'exponentiation.

Ce qui est remarquable, ici, c'est que le taux global de ce prêt n'est pas confondu avec son taux moyen qui est ainsi défini :
Contrairement au taux global qui n'est autre que la solution de l'équation d'équivalence des flux réciproques, et ne dépend pas des taux successifs auxquels est déroulée la chronique d'amortissement du prêt, le taux moyen, au contraire, dépend uniquement des taux successifs appliqués.
Ce taux moyen se définit comme le taux uniforme qui, sur la durée totale de l'opération, assurerait le même coefficient d'actualisation que les taux successivement en vigueur au cours de l'opération.
Dans le cas d'espèce de votre énoncé, ce taux moyen Im est donc tel que :
(1+Im)^12 = 1,084 . 1,094 . 1,104 =
soit Im = [(1,084 . 1,094 . 1,104)^(1/12)] -1 = 8,996942 % (avec arrondi à la 6ème décimale la plus proche)
La moyenne arithmétique des taux successifs, qui est exactement de 9,000.. % n'a, quant à elle, aucune signification actuarielle.

Bien cordlt

Vertigo

Posté par
Joconde
re : Remboursement. 21-07-21 à 21:33

Bonsoir Vertigo.

Merci pour ce détail. Vous venez de m'apprendre de nouvelles notions 🙏



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