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Répartition de bonbons

Posté par
hallow1978
12-10-20 à 09:45

Bonjour,
Je réfléchis depuis quelques jours sur un exo posé sur Wims dont moi et mes collègues de maths ne parvenons pas à expliquer la réponse.

Le problème est le suivant :
On souhaite répartir 19 bonbons entre 5 filles et 4 garçons tel que chaque fille ait au moins un bonbon et chaque garçon ait au moins deux bonbons.

J'ai raisonné de la façon suivante :
C'est comme si j'ai 5 filles et 8 garçons et chacun doit recevoir au moins 1 bonbon, ce qui fait 13 bonbons
Il reste 6 bonbons à répartir entre les 13 enfants, soit une combinaison de 6 parmi 13 ce qui donne 1716

Or la réponse (d'après Wims mais il peut peut-être se tromper), la réponse est 3003. A force de tatonner, c'est la combinaison de 6 parmi 14.

Qu'en pensez vous ?
Merci de votre aide.

Posté par
ty59847
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 10:49

Il n'y a pas 13 enfants, mais 9.

On cherche le nombre de façons de répartir b bonbons parmi e enfants.  J'ai donc cherché 'dénombrement répartitions' sur mon moteur de recherche. Et j'arrive ici :

Ca confirme la formule que j'avais reconstitué : C(b+e-1, e-1)
Vérification :
-Si on a 1 seul enfant, ça donne 1, si on a 2 enfants, ça donne b+1 ... et ça se complique au delà de 2 enfants.
- Si on a 0 bonbon, 1 seule répartition, si on a 1 bonbon, on a e répartitions, et au delà, ça se complique.

Posté par
flight
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 11:38

salut

avec 2 filles ayant chacune au moins 1 bonbons  et chaque garcon au moins 2 bonbons
qu'il reste après distribution 19-13=6 bonbons , la facon de repartir ces 6 bonbons parmi les 9 personnes revient à trouver le nombre de solutuons de l'equation:
x1+x2+x3+...+x8 +x9= 6  
soit ici C(6+8,6)=C(14,6)= 3003 facons

Posté par
flight
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 11:42

à noter que la contrainte initiale de distribution fait qu'il n'y meme pas de comptage à effectuer et qu'on doit remettre 5 bonbons aux filles et  8 bonbons au garcons et que donc la facon de distribuer le reste et le "calcul attendu ..."

Posté par
flight
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 11:43

est le calcul attendu

Posté par
hallow1978
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 13:30

Je regarde vos réponses et je pense vraiment que ce n'est pas trop du niveau terminale mais plutôt au delà, non ?

Posté par
GBZM
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 14:51

Bonjour,

Ça rentre dans le cadre des combinaisons avec répétition.
Le nombre de répartitions des 6 bonbons entre les 9 enfants, c'est comme le nombre de façons de ranger 6 chaussettes indiscernables dans 9 tiroirs, ça peut se représenter comme ça : on trace 8 barres qui sont les séparations entre tiroirs, puis on place  6 étoiles représentant les chaussettes  comme par exemple
     | * | * | | | * | * * | | *
0 chaussette dans le premier tiroir (0 bonbon pour le premier enfant), 1 dans le 2e, 1 dans le 3e, 0 dans le 4 e et le 5e, 1 dans le 6e, 2 dans le 7e, 0 dans le 8e, 1 dans le 9e.
Une suite de 14 symboles, dont 6 étoiles et 8 barres. L'explication du coefficient binomial \binom{14}{6} apparaît assez clairement, non ?

Posté par
Imod
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 15:30

Bonjour à tous

Je comprends la réponse de GBZM mais j'ai plus de mal avec la question .

Qu'entend-on  par nombre de répartitions ? Les bonbons , les enfants sont discernables ?

Imod

  

Posté par
GBZM
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 15:36

Les tiroirs sont discernables et les chaussettes sont indiscernables.
Les enfants sont discernables et les bonbons indiscernables.

Posté par
dpi
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 16:07

On peut dire aussi combien de façons de donner aux filles 11 bombons pour en laisser 8
aux garçons puis combien de façons de donner 14  bombons aux garçons pour en
laisser 5 au filles  .
A  noter que  12224    et 42122  et toutes les permutations sont la même chose,
ainsi que  2336 et 3632 par exemple pour les garçons.
ce qui réduit les 3003 combinaisons .
j'arrive à 144  mais moi et les probas.......

Posté par
GBZM
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 16:18

Euh dpi, je ne vois pas trop que tu traites l'exercice de départ ...

Posté par
ty59847
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 17:32

On a 9 enfants.
La première partie (1 bonbon mini par fille, et 2 bonbons mini par garçon), c'est un leurre, un faux problème.
Ca sert juste à distribuer 13 bonbons sur les 19 qu'on avait au départ.
Quand l'exercice commence vraiment, on a 6 bonbons à distribuer aux 9 enfants.
Les 6 bonbons sont indiscernables, mais les enfants sont 9 enfants bien identifiés (Alfred, Barnabé , Claude, Dominique ... ) : 9 enfants différents... et là aussi, peu importe que Claude et/ou Dominique soient des garçons ou des filles ; on a 9 enfants.

L'explication de GBZM avec les symboles est très claire.
On a (9-1)+6 symboles alignés, les (9-1) traits, se sont des séparateurs,  et les ronds, ce sont les bonbons.
Quand on aligne nos (9-1)+6 symboles , on peut avoir par exemple *|*||*|||*|*|* , ou encore ||*||**|*|*||*
Les traits verticaux sont des séparateurs. L'enfant n°1 prend ce qu'il y a à gauche du 1er séparateur, l'enfant n°2 prend ce qu'il y a entre les 1er et 2ème séparateurs etc etc.

Et le nombre de répartitions, c'est le nombre de façons de disposer les 8 séparateurs dans cette séquence de 8+6 symboles.  Ou aussi le nombre de façons de disposer les 6 bonbons dans cette séquence de 8+6 symboles, mais c'est la même chose : C(n,p) = C(n,n-p).

Posté par
macontribution
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 18:01

Bonjour à tous

Chez "MOI" : EGALITE DES SEXES pour les adultes et les enfants.

Donc :

a) 19 bonbons
b) 9 petits enfants

c) d'où : 19 / 9 =  2 bonbons par enfant et il reste 1 bonbon que PAPY mange

d) et si quelqu'un n'est pas content : PAPY mange ses bonbons !!!!

Ainsi parle PAPY.

Posté par
dpi
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 18:37

J'ai été intrigué par  3003 combinaisons possibles.
En réalité comme les garçons et les filles ne sont pas nommés ,les combinaisons
permutées sont équivalentes:

fille  1123 4 <---> 41213 c'est pareil
garçons   2345 <--->3452 c'est pareil

comme il y a  20 possibilités pour les filles et 26 pour les garçons je postule
qu'il y a   20x26 =520 partages possibles.

Posté par
dpi
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 18:39

>macontribution
Bien d'accord avec toi imaginons les jalousies de cet infâme partage

Posté par
GBZM
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 18:46

Je ne comprends pas, dpi.
Bon, tu peux te poser le problème en supposant les garçons indistinguables et les filles indistinguables. Ce n'est visiblement pas le problème tel qu'il est posé, mais après tout tu as bien le droit de modifier l'énoncé.
Mais ensuite, que veut dire "il y a  20 possibilités pour les filles et 26 pour les garçons" ??? Pourrais-tu être plus clair ?

Posté par
GBZM
re : Répartition de bonbons 12-10-20 à 19:07

PS.

Si on ne distingue pas entre les filles ni entre les garçons, il y a 61 schémas de distribution possibles (en respectant toujours au moins 1 par fille et au moins 2 par garçon, ce qui est bien sûr injuste).

Posté par
dpi
re : Répartition de bonbons 13-10-20 à 09:17

Bonjour,
J'essaye d'expliquer mon idée:
*comment répartir 19 bombons en en donnant au moins 1 au filles et 2 aux garçons.
*la répartition à chaque groupe n'a pas de priorité.
*ainsi si on donne par exemple 1 1 2 2 2 aux filles soit 8 bombons on donne 11 bombons
aux garçons dont les répartitions possibles  sont  2 2 2 5,2 2 3 4, 2 3 3 3.
Le tableau complet des répartitions donne 56 solutions  sauf erreur ou omission.

Répartition de bonbons

Posté par
GBZM
re : Répartition de bonbons 13-10-20 à 09:32

De 520 à 56 ?
Fortes variations journalières !
Mais ça se rapproche de la bonne réponse :
61 = 10x1 + 7x1 + 5x2 + 3x3 + 2x5 + 1x6 + 1x9.

Posté par
dpi
re : Répartition de bonbons 13-10-20 à 10:01

Quand je disais 520 c'était  en multipliant mes 20 par 26 cas...
Entre-temps j'ai voulu récapituler j'ai bien:
7x1 ,5x2 ,3x3, 2x5et 1x6 mais 1 x8 au lieu de 1x9 et il me manque 10x1 .
peux tu me dire où j'ai faux ?
Merci.

Posté par
dpi
re : Répartition de bonbons 13-10-20 à 10:56

Ne cherche pas,j'ai omis  3333 3334  et 3335 chez les garçons...
Je vais revoir ma copie......

Posté par
derny
re : Répartition de bonbons 14-10-20 à 09:55

Bonjour. Je suis d'accord avec l'explication de GBZM le 12 à 14h51. Précision : on peut avoir plus de 2 chaussettes dans un tiroir.

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