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Repère orthonormal
REPERE ORTHONORMAL
Bonjour. J'ai beaucoup de mal avec
la géométrie, en particulier celle
dans l'espace. C'est pourquoi je me
permets de solliciter votre aide pour
réaliser cet exercice. J'espère de tout
coeur avoir une réponse et, dans ce cas,
je vous remercie d'avance.
Voici la consigne :
Dans le repère orthonormal (O; vecteur i; vecteur j; vecteur k)
on donne les points A(2;0;0), B(0;3;1) et C(5;1;3).
1)Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
Préciser le sommet de l'angle droit.
2) Soit M le point de coordonnées (1;7;5).
Démontrer que M est un ppint du plan (ABC)
3) Soit D le point de coordonnées (9;16;-6).
Démontrer que la droite (DM) est perpendiculaire
au plan (ABC).
4) Calculer le volume du tétraédre ABCD.
Salut,
Je tedonne déjà les réponses et les explications viendront sur un autre post de ma part ...
1)AC²=19 ,BC²=33 etAB²=14 donc par Pythagore ABC rectangle e A
2)ABC a pour équation cartésienne : 8x+9y-11z-16=0
3)vec(DM) apour coordonnées (-8;-9;11)
un vecteur normal au plan ABC a pour coordonnées (8;9;-11)
Ces 2 vecteurs sont orthogonaux donc (DM) perpendiculaire au plan ABC
4) V(ABCD)=133/3
Voilà......
A bientôt pour la suite.
Salut,
Me revoilà...
1)AC²=(xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²=(5-2)²+(1-0)²+(3-0)²=19
De la même façon:
BC²=25+4+4=33
AB²=4+9+1=14
Donc AB²+AC²=14+19=33=BC²
D'après le théorème de Pythagore le triangle ABC ets rectangle en A
2)M(x;xy;z) appartient au plan ABC équivaut à
vec(AM)=a.vec(AB)+b.vec(AC)
Or on a :
vec(AM) a pour coordonnées (x-2;y;z)
vec(AB) a pour coordonnées (-2;3;1)
vec(AC) a pour coordonnées (3;1;3)
donc on obtient le système paramétrique suivant:
x-2=-2a+3b
y=3a+b
z=a+3b
On isole les paramètres a et b de ces 3 équations et on obtient l'équation cartésienne du plan ABC:
8x+9y-11z-16=0
Ainsi on vérifie facilement que : 8*1+9*7-11*5-16=0
donc M appartient au plan ABC
3)Un vecteur normal (orthogonal) au plan ABC s'obtient par les 3 premiers coefficients de son équation cartésienne : 8, 9 et -11
donc ses coordonnées sont : vec(n) (8;9;-11)
et vec(DM) a pour coordonnées (-8;-9;11)
donc vec(DM) = - vec(n)
donc vec(DM) est orthogonal au plan ABC
4) le volume du tétraèdre ABCD est :
V(ABCD)=(DM*(AB*AC)/2)/3
=(racine(266)*racine(14)*racine(19))/6
=racine(70756)/6
=133/3
A bientôt.....
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