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repere polaire
A/ Soit f la fonction définie sur R par f(x) = sin(x) + 1
1) a) Montrer que f est 2 pi - périodique.
b) En déduire que l'on peut étudier la fonction f sur [0 ;
2 pi ].
2) Calculer la fonction dérivée de f.
3) Etudier les variation de la fonction f sur [0 ; 2 pi ].
4) Donner le tableau de valeurs de f pour x appartenant à [0 ; 2 pi
], avec un pas de pi/6
B/ On munit le plan d'un demi-axe polaire, (O, i ), d'unité
graphique 3 cm.
Représenter l'ensemble de points E1 de coordonnées polaires (f(t) ; t),
pour t appartenant à [0 ; 2 pi ], f étant la fonction définie dans
la partie A. Ainsi pour tout point M(f(t) ; t), dans le repère polaire,
f(t) est le rayon polaire et t l'angle polaire du point M.
Question supplémentaire : On définit les fonction g, h, et i sur R par : g(x)
= f * (x+ (pi/2)), h(x)= f * (x+pi),
i(x) = f * (x+ ((3pi)/2))
Soient les ensemble de points E2, E3, et E4 de coordonnées polaires respectifs
(g(x) ; x), (h(x) ; x) et (i(x) ;x) pour x appartenant à [0 ; 2 pi
]. Comment peut-on déduire les ensembles E2, E3, et E4, à partir
de E1.
Représenter dans le même repère que précédent les ensembles E2, E3, et E4.
A/
1)
a)
f(x + T) = sin(x + T) + 1
f(x + T) = f(x) si:
sin(x + T) + 1 = sin(x) + 1
sin(x + T) = sin(x)
Donc pour x + T = x + 2kPi ou pour x + T = Pi - x + 2k.Pi
1°)
x + T = x + 2kPi
T = 2kPi -> la plus petite valeur de T > 0 est T = 2Pi.
2°)
x + T = Pi - x + 2k.Pi
T = Pi - 2x + 2k.Pi ne convient pas car T doit être indépendant de
x.
-> T = 2Pi
f est 2Pi périodique.
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b)
Il suffit d'étudier une fonction périodique sur une période pour
quelle puisse être connue partout.
-> On peut limiter l'étude de f(x) sue [0 ; 2Pi].
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2)
f '(x) = cos(x)
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3)
f '(x) > 0 pour x dans [0 ; Pi/2[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = Pi/2
f '(x) < 0 pour x dans ]Pi/2 ; 3Pi/2[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 3Pi/2
f '(x) > 0 pour x dans ]3Pi/2 ; 2Pi] -> f(x) est croissante.
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4)
f(0) = 1
f(Pi/6) = 1,5
f(Pi/3) = 1 + (1/2).V3 avec V pour racine carrée
f(Pi/2) = 2
f(2Pi/3) = 1 + (1/2).V3
f(5Pi/6) = 1,5
f(Pi) = 1
f(7Pi/6) = 0,5
f(4Pi/3) = 1 - (1/2).V3
f(3Pi/2) = 0
f(5Pi/3) = 1 - (1/2).V3
f(11Pi/6) = 0,5
f(2Pi) = 1
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B/
Avec le tableau du point A4, le tracé de E1 en coordonnées polaires est
immédiat.
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Les ensembles E2, E3 et E4 s'obtiennent en faisant une rotation
autour de l'origine du repère de la courbe représentant E1.
Par exemple, pour E2, il faut tourner la figure de E1 de Pi/2 autours
de l'origine. La seule chose à faire attention est de tourner
dans le bon sens, essaie de réfléchir par toi-même.
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Sauf distraction. 
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