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Niveau Licence Maths 1e ann
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Réponse incomprise: somme de complexe avec module.

Posté par
Chwebie
29-03-17 à 20:06

Bonjour, je suis en train de réviser et je ne parviens pas à comprendre une réponse à une question dont j'ai la solution. Je vous présente donc la question est la réponse avec les 2 éléments qui me bloquent.


(i) Pour tout k [1, n] Ak est distinct de O.
(ii) Les Ak sont deux à deux distincts.
(iii) Il n'existe aucune droite du plan P contenant tous les Ak.
(iv) \sum_{k=1}^{n}{\frac{z_{k}}{\left|z_{k} \right|}}

Question: donner un exemple de n-uplet (z1....zn) vérifiant l'égalité précédente.


J'ai déjà la réponse.

Pour tout k [1, n], posons z_{k} = exp \frac{2i(k-1)\Pi }{n}
(i) Pour tout k [1, n], zk0
(ii) On sait que les zk, 1 6 k 6 n, sont deux à deux distincts.
(iii) Puisque n > 3, on sait que les Ak ne sont pas alignés sur une droite.
(iv) \sum_{k=1}^{n}{\frac{z_{k}}{\left|z_{k} \right|}}= exp \frac{2i(k-1)\Pi }{n} =\frac{1-(exp \frac{2i\Pi }{n})^{n}}{1-(exp \frac{2i\Pi }{n})}=\frac{1-1}{1-(exp \frac{2i\Pi }{n})}=0
Donc, les zk, 1< k n, conviennent.


Mon problème est que je n'arrive pas à comprendre cette réponse.
Comment trouve t-on le i)?
et dans l'égalité comment passe t-on du second élément au 3ème ?

Pour le reste j'ai pu retrouver les notions de cours et les comprendre.

Merci de vos réponses qui peuvent vraiment m'aider.

Chwebie

Posté par
BranchingRW
re : Réponse incomprise: somme de complexe avec module. 29-03-17 à 20:29

L'exponentielle ne s'annule jamais, que ce soit sur R ou sur C.
Ensuite, il faut savoir que pour tout x\in \mathbb{C}-\{1\}, \sum_{k=0}^N{x^k} = \frac{1-x^{N+1}}{1-x}. Tu appliques avec  x = \exp(\frac{2i\pi}{n}) en faisant le changement de variable nécessaire

Posté par
carpediem
re : Réponse incomprise: somme de complexe avec module. 29-03-17 à 20:35

Chwebie @ 29-03-2017 à 20:06


(i) Pour tout k [1, n] Ak est distinct de O.
(ii) Les Ak sont deux à deux distincts.
(iii) Il n'existe aucune droite du plan P contenant tous les Ak.
(iv)  \red \sum_{k=1}^{n}{\frac{z_{k}}{\left|z_{k} \right|}}

Chwebie

ce qui est en rouge n'est pas une phrase (mathématique) puisqu'il n'y a pas de verbe ...

Posté par
Chwebie
re : Réponse incomprise: somme de complexe avec module. 29-03-17 à 21:01

Oh pardon,
(i) Pour tout k  [1, n] Ak est distinct de O.
(ii) Les Ak sont deux à deux distincts.
(iii) Il n'existe aucune droite du plan P contenant tous les Ak.
(iv)  \red \sum_{k=1}^{n}{\frac{z_{k}}{\left|z_{k} \right|}}  =0

Posté par
Chwebie
re : Réponse incomprise: somme de complexe avec module. 29-03-17 à 21:03

Ne sachant pas éditer, je le refait...
(i) Pour tout k  [1, n] Ak est distinct de O.
(ii) Les Ak sont deux à deux distincts.
(iii) Il n'existe aucune droite du plan P contenant tous les Ak.
(iv)  \sum_{k=1}^{n}{\frac{z_{k}}{\left|z_{k} \right|}} =0

Posté par
carpediem
re : Réponse incomprise: somme de complexe avec module. 29-03-17 à 22:09

(iv)  \sum_{k = 1}^{n} {\dfrac {z_{k}} {|z_{k} |}} = 0 est équivalent à \sum_1^n w_k = 0 en posant w_k = \frac {z_k} {|z_k|}

on cherche donc des complexes z_k de module 1 dont la somme est nulle ...

il suffit donc de considérer les affixes des sommets de n'importe quel polygone régulier à n sommets inscrit dans le cercle trigonométrique

ces affixes sont les racines n-ième de l'unité et l'isobarycentre des sommets est le centre de gravité de ce polygone donc l'origine O ...

Posté par
Chwebie
re : Réponse incomprise: somme de complexe avec module. 30-03-17 à 07:34

Merci de vos réponses.
Je pense avoir enfin compris! (et surtout être capable de le refaire )

Posté par
carpediem
re : Réponse incomprise: somme de complexe avec module. 30-03-17 à 10:38

de rien



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