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résolution arithmétique de x^y=y^x
Bonjour,
Je dois résoudre l'équation x^y=y^x pour x et y des entiers tels que x<y. Par contre je ne dois pas avoir recours à une méthode analytique (elle faisait l'objet d'une partie distincte et concernait l'étude de la fonction qui à t associe ln(t)/t) mais seulement aux outils de l'arithmétique.
Voici les questions auxquelles je dois répondre et pour lesquelles j'ai vraiment du mal (il faut dire que l'arithmétique et moi, ça fait 2!):
1)Montrer que x est supérieur ou égal à 2 et y supérieur ou égal à 3.
2)Montrer que x et y ont les mêmes diviseurs premiers.
3)Montrer que x divise y. on note m l'entier tel que y=mx
4)soit m'=m-1. montrer que x^m'=1+m'
5)soit x' tel que x=1+x'. montrer que x'=1 et m'=1 et conclure.
Merci d'avance de votre aide!
x^y=y^x pour x et y des entiers tels que x < y.
si x = 0 alors y > 0 et 0 y = 0 et y 0 = 1
donc il n'y a pas de solution si x = 0
si x = 1, alors y > 1 or 1 y = 1 et y 1 = y
comme y > 1 ceci n'est pas possible, il n'y a pas de solution si x = 1
donc x 
2, comme y > x alors y 3
2. soit d un diviseur premier de x, alors d divise x y donc d divise y x
d est un nombre premier donc d divise y
tout diviseur premier de x divise y
même démonstration avec d' diviseur de y
tout diviseur premier de y divise x
donc x et y ont les mêmes diviseurs premiers
Bonjour,
1) et
sont des entiers strictement positifs.
Si , l' équation devient
Or strictement donc
et
et comme ,
2) et
ont les mêmes diviseurs premiers.
et
ont les mêmes diviseurs premiers.
Donc si le couple est solution,
et
ont les mêmes diviseurs premiers.
3) La décomposition en facteurs premiers de comporte les mêmes facteurs premiers que
avec des exposants inférieurs puisque
donc divise
C' est un début...
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