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Résolution d'équation

Posté par
QuentinDelon1 09-10-21 à 15:18

Bonjour !
L'énoncé va être court :

Résoudre dans R, x^(x^1/2)=1/2

(La double puissance ne marchait pas )

J'ai voulu utilisé la définition de la fonction  puissance :

En disant que x^(x^1/2)= exp(x1/2*ln(x)) et éventuellement refaire la même chose avec le x1/2 restant mais je ne sais pas comment aller plus loin.

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 09-10-21 à 15:36

Bonjour,
Quel est le sens de variation de f définie sur + par f(x) = x^{(x^{\frac{1}{2}})} ?
Donc le nombre de solutions de l'équation ?
Une fois obtenues des réponses, chercher une valeur approchée de la solution avec une table de valeur.
Et avoir une petite surprise

Posté par
Ulmierere : Résolution d'équation 09-10-21 à 15:44

Donne toi une solution x (pourquoi en existe-t-il une ?) et vérifie qu'elle est positive (strictement).

Commence par tout mettre à la puissance 1/2
En posant X = \sqrt{x}, ton équation devient X^X = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Je note r = 1/sqrt(2) pour allééger un peu.
X étant (strictement) positif, on peut l'écrire X = e^u avec u = \ln(X) un réel.
L'équation devient alors en passant au log ue^u = \ln r = -\dfrac{\ln 2}{2}.

On en déduit que u = W(\ln r) où W est la fonction de Lambert. Là ça sent très mauvais, mais tu as de la chance ici r a une bonne tête : W(\ln r) = -\ln 2

On en déduit que X = e^{W(\ln r)} = 1/2 puis que
x = 1/4

Ce qui fournit une solution sur la branche 0 (et tu peux vérifier que (1/4)^(1/2) = 1/2.

Il y a une autre solution réelle sur la branche -1 : x = e^{2 W_{-1}\left(-\dfrac{\ln 2}{2}\right)} mais c'est plus compliqué

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 09-10-21 à 15:55

Bonjour Ulmiere
Erreur de ma part : Le sens de variation de ma fonction f n'est pas simple ; et il y a plusieurs solutions

Posté par
QuentinDelon1re : Résolution d'équation 09-10-21 à 17:16

Pour répondre à Sylvieg,

J'ai décidé d'étudier le signe de la dérivée, mais (xu)' a-t-elle une formule précise ?

Posté par
QuentinDelon1re : Résolution d'équation 09-10-21 à 17:23

Waw! ça devient complexe !

Pouvez vous m'expliquer comment on passe à la ligne ci dessous :
"L'équation devient alors en passant au log ue[sp]u[/sup] = ln r = -ln2/2"

D'ailleurs pourquoi r=1/sqrt(2), l'idée est juste de simplifier ?

Je ne connais pas la fonction de Lambert, c'est important de la connaitre pour la résolution?

Désolé je viens de voir le second message de Sylvieg !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 09-10-21 à 17:57

Une remarque utile pour résoudre XX = 1/2 :
(1/4)1/4 = (1/2)1/2

Posté par
carpediemre : Résolution d'équation 09-10-21 à 17:58

salut

évidemment x > 0

x^{x^{\frac 1 2}} = \dfrac 1 2  \iff x^{\frac 1 2 } \ln x = - \ln 2 \iff x^{\frac 1 2 } \ln \sqrt x ^2 = - \ln 2 \iff x^{\frac 1 2 } \ln x^{\frac 1 2} = - \dfrac {\ln 2} 2   \red (*)

en notant alors u l'unique antécédent de - \dfrac {\ln 2} 2 par la fonction x \mapsto x \ln x (vérifier qu'il est unique)

alors la solution de ton équation est h^2

PS : on peut l'écrire avec la fonction de Lambert comme le fait Ulmiere puisque x \ln x = e^{\ln x} \ln x = W(\ln x)

donc {\red (*) } \iff W(\ln x^{\frac 1 2 }) = - \dfrac {\ln 2} 2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 09-10-21 à 18:05

Attention carpediem, il y a deux solutions.
Et elles sont très simples.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 09-10-21 à 18:12

@QuentinDelon1,
Pour étudier le sens de variation de f définie sur + par f(x) = x^{(x^{\frac{1}{2}})}, on peut commencer par écrire
x^{(x^{\frac{1}{2}})} = e^{\sqrt{x}ln(x)}
La fonction f a le même sens de variation que la fonction u qui apparaît en exposant : u(x) = \sqrt{x}ln(x)

Posté par
carpediemre : Résolution d'équation 09-10-21 à 18:12

merci Sylvieg !!

effectivement je ne me rappelais plus vraiment la courbe de la fonction x --> x ln x

donc remplacer par les antécédents ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 09-10-21 à 18:13

J'avais fait la même erreur au départ

Posté par
QuentinDelon1re : Résolution d'équation 09-10-21 à 18:32

Dans la réponse de carpediem,

dans, c'est x1/2ln(x1/2) ou x1/2ln(x)1/2.

Dans le 2eme cas, ça aiderait beaucoup en effet, on se retrouverait avec du x*lnx, mais je ne vois pas comment passer à cette étape dans ce cas, certes x, au carré fait x, mais comment le ^1/2 passerait en dehors du ln alors ?

Posté par
carpediemre : Résolution d'équation 09-10-21 à 18:42

la puissance l'emporte sur la fonction (quand il n'y a pas de parenthèse) ...

et tu ne devrais même pas poser cette question vu d'où provient cette expression (équivalence précédente)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 09-10-21 à 19:08

Je répète :
Il y a deux solutions. Et elles sont très simples.

Posté par
Razesre : Résolution d'équation 09-10-21 à 19:20

Bonjour,

f(x)=x^{\sqrt x}
Nous avons à résoudre dans R,  f (x)=\frac 1 2

D_f: x>0

Posons: x=X^2

L'équation devient après simplification:
X\ln X=(\frac 1 2)\ln(\frac 1 2)

En étudiant la fonction g (X)=X\ln X et par bijection sur une partie de D_f,  la solution est immédiate.

Posté par
Ulmierere : Résolution d'équation 09-10-21 à 19:21

Sylvieg @ 09-10-2021 à 19:08

Je répète :
Il y a deux solutions. Et elles sont très simples.


On parle bien sûr de deux solutions réelles, parce qu'il existe une infinité de solutions complexes

Posté par
QuentinDelon1re : Résolution d'équation 10-10-21 à 09:32

Ok ! J'ai donc étudié, g(x) = xlnx, j'ai donc décroissant sur ]0;e-1] et croissant sur [e-1;+[


J'ai envie d'utiliser le corollaire du tvi qui me servirait à prouver qu'il existe une unique solution sur le premier et le 2eme, mais sans calculatrice, ai-je un moyen de prouver que -e-1<(-ln2)/2 ?

Cependant, je ne vois pas trop comment résoudre, g(x) = (-ln2)/2 ? Même si les solutions semblent simples comme vous dîtes ?

Posté par
carpediemre : Résolution d'équation 10-10-21 à 10:29

oui bien sûr !!

il suffit de savoir que e 2,7182818 2,72

1 < 2 < e \Longrightarrow 0 < \ln 2 < 1 \Longrightarrow 0 < \dfrac {\ln 2} 2 < \dfrac 1 2 \Longrightarrow -\dfrac 1 2 < - \dfrac {\ln 2} 2

de plus 2,5 < e < 3 \Longrightarrow \dfrac 1 3 < \dfrac 1 e < \dfrac 2 5 \Longrightarrow - \dfrac 1 e < - \dfrac 1 3

mais damned - \dfrac 1 2 < - \dfrac 1 3 donc ça ne marche pas ...

bon ben recommençons en prenant e < 2,72 ...
et si ça ne marche pas recommençons en prenant e < 2,7183 ...
et si ...

sinon tout simplement "on sait" que ln 2 0,7  

autre façon : on approxime ln sur l'intervalle [1, e] par la fonction affine f telle que f(1) = 0 et f(e) = 1 et on trouve que ln 2 > f(2) = \dfrac 2 {e - 1}   (peu différent et plus grand que)

ou alors puisque 2 est plus proche de e que de 1 on approxime ln 2 par la valeur obtenue en prenant la tangente à la courbe de ln en e ...

si on veut bricoler il y a moyen de bricoler !!!  

Posté par
QuentinDelon1re : Résolution d'équation 10-10-21 à 11:32

je vois ça qu'il y a moyen de bricoler hahaha !!

Et ensuite pour résoudre, g(x) = (-ln2)/2 comment est ce que je peux m'y prendre ?
Certes il y a donc 2 solutions qui existent sur les 2 intervalles mais en terminale on se contentait de dire qu'elles existaient par forcément de les trouver !!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 10-10-21 à 11:37

Tu peux chercher des valeurs approchées avec une calculatrice.
Tu l'as déjà sans doute fait en terminale.
Constater que l'une d'elle est très simple.
L'autre aussi, mais un peu moins.

Posté par
QuentinDelon1re : Résolution d'équation 10-10-21 à 14:49

Malheureusement je n'y ai pas le droit ! C'est bien le problème de temps en temps ..

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 10-10-21 à 15:25

J'avoue que j'ai trouvé la première solution en traçant une courbe.
Et la seconde avec un solveur basique (TI89).

Pour se débarrasser de la racine carrée, on a l'idée de poser X = x.
L'équation devient d'abord (X2X) = 1/2.
Déjà utilisé plus haut.
Pour se débarrasser du quotient 1/2, on peut ensuite poser y = 1/X.
On aboutit à y2/y = 2.
Et là, une solution hyper simple apparaît pour y.

Si on ne la voit pas, on peut encore transformer:
(y1/y)2 = 2 qui donne y1/y = 21/2.

Posté par
QuentinDelon1re : Résolution d'équation 10-10-21 à 21:21

Ok j'ai trouvé, y=2, ainsi x=1/4 !

Mais la 2eme solution, elle s'en déduit ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 10-10-21 à 22:46

Je n'ai pas trouvé comment elle pouvait s'en déduire.
Cherche quelque chose qui ressemble.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 10-10-21 à 22:46

Un y entier.

Posté par
Razesre : Résolution d'équation 11-10-21 à 02:35

Bonsoir,

Dans mon precedent post, j'avais écris:

Citation :
f(x)=x^{\sqrt x}
Nous avons à résoudre dans R,  f (x)=\frac 1 2

D_f: x>0

Posons: x=X^2

L'équation devient après simplification:
X\ln X=(\frac 1 2)\ln(\frac 1 2)


En prenant la fonction g (x)=x\ln x,  notre équation devient donc: g(X)=g(\frac 1 2); la solution triviale est X=\frac 1 2\Leftrightarrow x=\left ( \frac 1 2 \right )^2=\frac 1 4

Pour ce qui est de la seconde solution, la remarque de Sylvieg est très importante : (1/4)^{1/4} = (1/2)^{1/2}; donc  g(X)=g(\frac 1 4); d'ou la deuxième solution est X=\frac 1 4

Posté par
Razesre : Résolution d'équation 11-10-21 à 02:37

x=\frac 1 {16}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 11-10-21 à 07:49

Bonjour,

Sylvieg @ 09-10-2021 à 17:57

Une remarque utile pour résoudre XX = 1/2 :
(1/4)1/4 = (1/2)1/2
Merci Razes pour cette piqure de rappel. J'avais oublié ce message.
On peut le rendre encore plus explicite en y remplaçant l'équation XX = 1/2 par l'équation XX = (1/2)1/2

Mais je ne vois toujours pas comment trouver une méthode de résolution pour l'équation de départ sans béquilles, calculatrices ou autres.
On peut trouver le nombre de solutions. Mais ensuite on est tenté d'utiliser de outils sophistiqués, jusqu'à la fonction de Lambert

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 11-10-21 à 07:51

des outils

Posté par
carpediemre : Résolution d'équation 11-10-21 à 17:16

Sylvieg @ 11-10-2021 à 07:49

Mais je ne vois toujours pas comment trouver une méthode de résolution pour l'équation de départ sans béquilles, calculatrices ou autres.
On peut trouver le nombre de solutions. Mais ensuite on est tenté d'utiliser de outils sophistiqués, jusqu'à la fonction de Lambert
pas tout à fait d'accord !!

on est tous arrivé à quelque chose du genre X \ln X = \dfrac 1 2 \ln \dfrac 1 2  ou comme moi (voir mon (*) : ma simple transformation d'écriture est "stupide" puisqu'elle m'a fait rater la solution évidente x = 1/4

ensuite c'est ta remarque de 17h57 rappelée par Razes qui nous donne la deuxième car elle est équivalente à

4^2 = 2^4 \iff 2 \ln 4 = 4 \ln 2 \iff \dfrac 1 2 \ln 2 = \dfrac 1 4 \ln 4 \iff \dfrac 1 2 \ln \dfrac 1 2 = \dfrac 1 4 \ln \dfrac 1 4 en multipliant par -1  ...

donc si on a une solution on a la deuxième ...mais encore faut-il joindre tous les bouts !!!

Posté par
QuentinDelon1re : Résolution d'équation 11-10-21 à 17:29

Bonjour !

Comment peut-on dire que (1/4)1/4=(1/2)1/2 ? Je ne vois pas d'où ça sort ?

Posté par
carpediemre : Résolution d'équation 11-10-21 à 17:48

je viens de le montrer !!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 11-10-21 à 18:04

D'autres manières de la montrer :

Sans ln et avec LaTeX qui semble remarcher :

\left(\dfrac{1}{4} \right)^{\frac{1}{4}} = \left(\left(\dfrac{1}{2} \right)^{2} \right)^{\frac{1}{4}} = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{2\times \frac{1}{4}} = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}}

La traduction avec ln :
(1/4)ln(1/4) = (1/4)ln((1/2)2) = (1/4)2ln((1/2) = (1/2)ln(1/2).

Posté par
carpediemre : Résolution d'équation 11-10-21 à 18:09

oui ou continuer ma suite d'équivalences en prenant l'exponentielle ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 11-10-21 à 18:14

@carpediem,
Ma remarque "(1/4)1/4 = (1/2)1/2", je ne l'ai vue qu'après avoir trouvé la seconde solution avec un solveur, puis vérifié en remplaçant dans l'équation.
Je me pose donc la question : Comment y penser sans cette béquille ?

Posté par
carpediemre : Résolution d'équation 11-10-21 à 18:37

alors je dirai sans la béquille du solveur et lorsqu'on a la solution "évidente" x = 1/4 à partir de

x^{x^{\frac 1 2}} = \dfrac 1 2  \iff x^{\frac 1 2 } \ln x = - \ln 2 \iff x^{\frac 1 2 } \ln \sqrt x ^2 = - \ln 2 \iff x^{\frac 1 2 } \ln x^{\frac 1 2} = \dfrac 1 2 \ln \dfrac 1 2   \red (*)

et après bien sûr l'étude de la fonction f : x --> x ln x et avoir vu qu'il y a deux solutions que la béquille 2^4 = 4^2 nous vient à l'esprit ...

bon c'est un peu (beaucoup) capillotracté

Posté par
Razesre : Résolution d'équation 11-10-21 à 19:54

Bonsoir,
Pour terminer l"exercice, les solutions sont \frac 14 et \frac 1{16}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 11-10-21 à 22:24

Posté par
QuentinDelon1re : Résolution d'équation 11-10-21 à 22:33

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Résolution d'équation 11-10-21 à 22:44

De rien ; l'exercice était intéressant.
Et à une autre fois sur l'île \;


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