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Résolution d’equation avec changement de variable
Bonjour, j'ai eu un exercice en Matex que je ne parviens pas a résoudre :
L'equation est la suivante:
z^4 + 2z^3 - z^2 + 2z + 1 = 0
Il faut utiliser le changement de variable Z= z + 1/z
J'ai tenté de résoudre et j'ai obtenu z^2Z^2 - 2z^2Z - 3z^2
Cependant on ne peut pas résoudre cette equation…
Merci d'avance pour votre aide
Bonsoir,
je ne comprends pas
j'ai obtenu z^2Z^2 - 2z^2Z - 3z^2
tu ne devrais avoir uniquement des Z
calcule un peu
En effet, mais Z^2 = z^2 + 1/z^2 + 2
J'ai tenté de factoriser l'equation par Z^2 mais j'ai toujours un problème de signe: soit j'obtiens -1 au lieu de 1 soit j'obtiens z^2 ou lieu de -z^2…
divise tous les termes de
z^4 + 2z^3 - z^2 + 2z + 1 = 0 par z
en t'assurant d'abord que 0 n'est pas solution de l'équation
Justement, j'ai deja vérifié que z était différent de 0 puisque notre changement de variable contient 1/z (z≠0). Donc, si je suis votre idée et que je divise tout par z, on obtient z^3 + 2z^2 -z +2 +1/z =0.
Mais de là je ne parvient a voir ni Z ni Z^2:
-z+1/z ne peut pas être transformé en z+1/z, et même si on peut voir z^2+2 il nous manque le 1/z^2 pour obtenir Z^2…
Ahhh merci en divisant par z^2 cela fonctionne:
on obtient z^2 +2z -1 + 2/z + 1/z^2 = 0
On voit dans z^2 + 1/z^2 le debut de Z^2, j'ajoute donc 2 des deux côtés et j'obtiens
Z^2 +2z -1 + 2/z = 2
puis, on factorise par 2 pour obtenir Z
Z^2 +2Z -1=2
Z^2+2Z -3 = 0
Est-ce correct ?
Pardon je me suis trompée, on resout
Z2+ 2Z-3=0:
discriminant= 22-4 x 1 x (-3)=16
Le discriminant est positif, on a donc deux solutions réelles:
Z1= (-2-4)/2=-3
Z2= (-2+4)/2=1
Or d'apres le changement de variable, Z=z+1/z, donc:
Z1=z1+1/z1
<=> -3 = z1+1/z1
<=> -3z1=(z1)2+1
<=>(z1)2+3z1+1=0
Et de la même manière, nous obtenons:
(z2)2+z1+1=0.
Nous calculons le discriminant, et cela donne discriminant1 = 5 et discriminant2=-3
Donc z1= (-3-sqrt(5))/2
z1'=(-3+sqrt(5))/2
et z2= (-3-i*sqrt(3))/2
et z2'= (-3+i*sqrt(3))/2
J'ai fait la vérification en remplacement les z de l'équation initiale par mes solutions, mais ca ne donne pas 0.. Avez vous une explication svp?
Pardon, erreur de ma part j'ai mal tapé sur la calculatrice ^^ j'ai réessayé et cela donne bien 0! Je vous remercie pour votre aide 
Oui ahah j'ai mélangé le discriminant avec b.. mais je m'en suis rendue compte et j'ai rectifié merci
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