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Résolution d'équations avec congruence

Posté par
AnnieLila
25-02-22 à 12:52

Bonjour à tous!

Alors voilà, cela fait depuis ce matin que je parviens pas à résoudre cette équation, vous  serait-il possible de m'aider s'il vous plaît ?

17x=8[34] (le signe égal est le signe congru)

J'ai bien essayé de la résoudre à la manière d'une équation diophantienne, mais j'ai l'impression que c'est impossible...

Merci d'avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Résolution d'équations avec congruence 25-02-22 à 12:58

Bonjour,

"à la manière d'une équation diophantienne"
oui. vas y ...

Posté par
Mateo_13
re : Résolution d'équations avec congruence 25-02-22 à 13:05

Bonjour,

cela signifie que le reste de 17x dans la division par 34 est 8, soit 17x = 34k + 8

Une méthode brutale consiste à donner à x toutes les valeurs entre 0 et 33 et à étudier les restes de 17x modulo 34, à mettre dans un tableur.

Comme 17 est la moitié de 34, en mettant les lettres d'un côté du signe =, puis en factorisant,
peut-être peut-on arriver plus rapidement à la solution.

Cordialement,
--
Mateo.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Résolution d'équations avec congruence 25-02-22 à 13:14

"puis en factorisant"
tout à fait...

mais j'espérais que AnnieLila écrive ici cette équation de lui même.
(qu'il montre explicitement ce qu'il avait essayé)

Posté par
Leoninie
re : Résolution d'équations avec congruence 25-02-22 à 14:55

Merci à vous deux.

J'ai bien essayé de factoriser par 17 mais je ne vois pas ce que cela change.

Tout d'abord, j'ai eu 17(x-2k)=8. Donc 8 divise x-2k, d'après le théorème de Gauss, mais je n'y arrive pas après cela, il y a 3 inconnues... Ce n'est sans doute pas l bonne méthode, mais je ne vois rien d'autre à part cela...

Merci encore

Posté par
mathafou Moderateur
re : Résolution d'équations avec congruence 25-02-22 à 15:39

c'est surtout que 17 doit diviser 8
et que par conséquent comme tu le pensais l'équation n'a aucune solution.
terminé.

Posté par
Leoninie
re : Résolution d'équations avec congruence 25-02-22 à 15:55

Ah ! D'accord ! Je ne pense jamais à dire que c'est impossible !
Merci infiniment !

Posté par
carpediem
re : Résolution d'équations avec congruence 25-02-22 à 18:11

salut

la relation de congruence est compatible avec le produit mais pas avec le quotient donc on peut remarquer que

(1) \iff 17x \equiv 8  [34] \Longrightarrow 0 \equiv 16  [34]_iff (2)   en multipliant par 2

donc l'ensemble des solutions de (1) est inclus dans l'ensemble des solutions de (2)

or (2) n'a évidemment pas de solution ...



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