Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Résolution d'inéquation avec les logarithmes

Posté par
mankathada
19-01-17 à 17:14

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé de mon exercice :

Résoudre dans R  : Log2 (x) >Log4(3x-2)

Alors du coup je simplifie par :

\frac{ln(x)}{ln 2}>\frac{ln(3x-2)}{ln4}

Ensuite je mets à la forme exponentielle, ce qui me permet d'arriver à :

\frac{x}{2}>\frac{3x-2}{4}

Et en résolvant l'inéquation je trouve :

x<2

Ce qui est absurde car la fonction ln ne peut pas être négative.

Merci de votre aide

Posté par
verdurin
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 19-01-17 à 17:23

Bonjour,
en général e(a/b)(ea)/(eb)

Posté par
mankathada
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 19-01-17 à 17:31

En recalculant j'ai trouvé x >2, c'est ça ?

Posté par
verdurin
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 19-01-17 à 17:51

C'est ça, mais j'ai des doutes sur l'exactitude de tes calculs.

Posté par
mankathada
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 19-01-17 à 17:55

Si je me suis repris : l'équation devient exp(x) - exp(2) > exp(3x-2) - exp(4)

Posté par
verdurin
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 19-01-17 à 18:07

J'ai du mal à voir comment tu passes de

\log_2(x)>\log_4(3x-2)
à
\exp(x) - \exp(2) > \exp(3x-2) - \exp(4)

L'idée est, à mon avis, d'utiliser la relation

\ln4=2\ln2

Posté par
etniopal
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 19-01-17 à 18:10

Comme ln(4) = 2ln(2)  on cherche les x > 2/3 tels que  ln(x).ln(2) > ln(3x-2) donc tels que xln(2) - 3x + 2 > 0 .

Posté par
verdurin
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 19-01-17 à 18:39

Une petite erreur :
x2 - 3x + 2 > 0 .

Posté par
etniopal
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 19-01-17 à 19:46

On n'a pas  ln(x).ln(2)  = ln(xln(2)) ?

Posté par
verdurin
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 19-01-17 à 23:43

On parle de

\dfrac{\ln x}{\ln 2}=\dfrac{\ln (3x-2)}{\ln 4}
 \\ 
 \\ \dfrac{\ln x}{\ln 2}=\dfrac{\ln (3x-2)}{2\ln 2}
 \\ 
 \\ 2\ln(x)=\ln (3x-2)

Posté par
etniopal
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 00:00

oui , oui !
Comme dit jsvdb , skuse !

Posté par
jsvdb
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 00:21

ptdr ...
J'adore être cité, ça vous a un petit côté réputation internationale

Euh, au fait, j'ai dit ça où ?

Posté par
mankathada
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 15:39

Je viens de comprendre au fait au final il faut résoudre cette équation :

2 x = 3x - 2

C'est bien ça ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 16:17

Log2(x) > Log4(3x-2)

condition d'existence : x > 0 et 3x-2 > 0 --> x > 2/3

Log2(x) > (1/2).Log2(3x-2)
Log2(x) > Log2(RC(3x-2))
x > RC(3x-2) (et avec x > 2/3) -->

x² > 3x-2 (avec x > 2/3)

x²-3x+2 > 0 (avec x > 2/3)

(x-1)(x-2) > 0 (avec x > 2/3)

Donc x dans ]2/3 ; 1[ U ]2 ; +oo[ convient

Sauf distraction.  

Posté par
mankathada
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 16:24

Ce que j'ai du mal à comprendre c'est comment tu passes de :

Log4(3x-2)

à

(1/2)Log2(3x-2)

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 16:47

Citation :
Ce que j'ai du mal à comprendre c'est comment tu passes de :

Log4(3x-2)

à

(1/2)Log2(3x-2)


En appliquant des transformations simples, qu'on peut effectuer "dans sa tête"

Mais si tu veux les voila fort détaillées :

Log4(3x-2) = y
4^y = 3x-2
2^(2y) = 3x-2
2y.log2(2) = log2(3x-2)
2y = log2(3x-2)
y = 1/2 . log2(3x-2)

Et donc Log4(3x-2) = 1/2 . log2(3x-2)

On peut facilement passer d'une base de log à une autre sans être obligé de passer par des log népériens ...
Mais chacun fait comme il le sent.

Posté par
mankathada
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 16:49

Voici comment j'ai écris l'équation :

\large \frac{ln x}{ln 2} > \frac{ln (3x-2)}{ln 4}


\large \frac{ln x }{ln 2} > \frac{ln (3x-2)}{2ln(2)}


\large 2 ln (x) > ln(3x-2)


Et moi c'est la derniere étape qui me bloque, si quelqu'un pouvait m'aider sur la suite ce serait vraiment génial, histoire que je comprenne enfin.

Posté par
malou Webmaster
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 16:55

pour x > 3/2
l'étape suivante est
ln(x²) > ln(3x-2)

Posté par
mankathada
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 16:59

Justement nous y voilà, ça veut dire que par exemple si j'avais:

3ln(x)

Et bah j'aurais le droit de simplifier par :

ln(x^{3})

C'est bien ça ?

Posté par
malou Webmaster
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 17:00
Posté par
mankathada
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 17:02

D'accord merci, c'est ce que je voulais savoir, en tout cas merci beaucoup et oui j'y manquerai pas de jeter un coup d'oeil sur ton lien, j'en ai besoin apparement mdr

Posté par
mankathada
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 17:04

Ah bah oui je suis bête :

ln (x^{n}) = n ln x


Dire que j'ai oublié quelque chose d'aussi fondamentale, honte à moi

Posté par
malou Webmaster
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 17:04

de rien, et derrière le cours tu as 2 fichiers d'exos corrigés [lien]

Posté par
mankathada
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 17:08

Ah cool merci, j'essaierai de m'entrainer quand j'aurais fini mes TD

Posté par
malou Webmaster
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 18:47

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 19:09

mankathada @ 20-01-2017 à 17:04

Ah bah oui je suis bête :

ln (x^{n}) = n ln x


Dire que j'ai oublié quelque chose d'aussi fondamentale, honte à moi


Attention quant même, souvent on manipule des formules ... et on oublie de tenir compte de leur conditions de validité.

Exemple ici, avec x = -3 et et n = 2
ln (x^{n}) existe alors que  n ln x n'existe pas.

Posté par
jsvdb
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 20-01-17 à 19:20

Il y a eu un topic très récemment posté à ce sujet : \ln(x^2) = 2\ln(|x|)

Posté par
mankathada
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 23-01-17 à 20:14

Ah ouais, qui a posté ?

Posté par
jsvdb
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 23-01-17 à 21:54

Je sais plus, j'arrive pas à retrouver le topic ...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 24-01-17 à 10:11

On voit trop souvent des "formules" sans leur conditions de validité ou bien avec des conditions de validité bien "hasardeuses"

Par exemples :

log(a.b) = log(a) + log(b)
log(a/b) = log(a) - log(b)
log(a^b) = b.log(a)
...

Je serais curieux de voir quel pourcentage d'étudiants (ou d'autres) arriverait à donner, dans chaque cas, les conditions détaillées sur a et b (de R²) pour que ces relations existent (le plus largement possible).

Ceci n'est pas un défi, j'y pense juste de temps en temps en voyant certains énoncés ou réponses.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 24-01-17 à 10:15

Je ne l'ai pas dit ... à mon tort.

Je n'aime pas du tout les écritures :

log(a.b) = log(a) + log(b)
log(a/b) = log(a) - log(b)

Par quoi les remplacer pour avoir les conditions les moins contraignantes sur a et b (de R²) pour exprimer :

log(a.b) = ...
log(a/b) = ...

Posté par
jsvdb
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 24-01-17 à 10:53

Il n'empêche que c'est bien ce qu'apprennent les lycéens en terminale (enfin ! dans les années 90 c'était comme ça) avec évidemment la précision rédhibitoire que a et b devaient être strictement positifs.
Mais d'une manière générale, on n'insiste pas assez sur les conditions d'utilisation des objets en maths ou, plus exactement, on a une grôôôsse tendance à utiliser ce qui est agréable à l'oeil dans tous les cas sans vraiment vérifier ce qu'on écrit.
C'est comme que certains rigolos tentent de faire croire que 1 = 0 via une division invisible par 0.
Ou que la somme des entiers naturels 1 + 2 + 3 + ... + n + ... = -1/12 et justifient leur réponse via des DL ou des objets mathématiques sur lesquels ils n'exercent aucune vérification ...
Ou toutes autres fadaises du même acabit ...
Ln ne fait pas exception : c'est sympa Ln(a.b) = Ln(a) + Ln(b), c'est une jolie formule ! Donc allons y gaiement ...

Posté par
verdurin
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 24-01-17 à 13:03

Sur les logarithmes, j'aime bien la formule qui donne le logarithme de la somme de deux nombres réels strictement positifs.

\ln(a+b)=\sup \bigl\lbrace \alpha \ln (a) + (1-\alpha) \ln (b) -\alpha \ln (\alpha ) - (1-\alpha ) \ln (1-\alpha )\ \big\vert \ \alpha \in ] 0\; ; 1[ \bigr\rbrace

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 24-01-17 à 13:36

Citation :
"
Il n'empêche que c'est bien ce qu'apprennent les lycéens en terminale (enfin ! dans les années 90 c'était comme ça) avec évidemment la précision rédhibitoire que a et b devaient être strictement positifs.  

c'est sympa Ln(a.b) = Ln(a) + Ln(b), c'est une jolie formule !"


Oui, c'est sympa ...

Mais moi , je voudrais que Ln(a.b) = ... ne soit pas limité par la condition que a et b > 0

Ln(a.b) existe bel et bien si a et b non nuls sont de même signes (et donc par exemple tous les 2 strictement négatifs) ...

Cela va sans dire ... mais encore bien en le disant et ce serait bien d'en faire prendre conscience aux étudiants

C'est joli aussi d'écrire : Ln(a.b) = Ln|a| + Ln|b| sous la condition que a.b > 0

quitte aussi à écrire (en plus) :  Ln(a.b) = Ln(a) + Ln(b) sous les conditions que a et b > 0

Ceci n'étant, malheureusement, que l'arbre qui cache la montagne.




Posté par
carpediem
re : Résolution d'inéquation avec les logarithmes 24-01-17 à 19:58

salut

certes certes ... je suis bien d'accord dans une certaine mesure ... mais ... car :

alors on remplit les cahiers avec 10 000 formules comportant chacune leur exclusion particulière où leur domaine de validité variant de ... à ... et plus personne ne sait rien ... quand déjà ils ne savent pas une formule ...


la seule formule générale à savoir est :

si a et b sont strictement positifs alors ln(ab)= ln a + ln b


après c'est la fonction et l'objectif même de l'instruction et l'exercice de la réflexion qui permet à chacun de s'adapter à la situation pour par exemple pouvoir écrire :

ln [(-2)(-3)] = ln 2 + ln 3 ...


mais l'EN n'en est plus là ...



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !