Bonjour chris1756,

Le résultat est trivial si n=1 , supposons n>1 et munissons R^n de sa structure euclidienne canonique .
Notons:
U=(1,1,..,1) le n-uplet de R^n dont toutes les composantes valent 1
et X=(x1,..,xn) un élément quelconque de R^n .

la 1ère et la 2ème équation de ton systéme s'écrivent alors:
< X | U > = na (notation du produit scalaire canonique de R^n)
et ||X||² = na² (norme canonique de R^n)
comme ||U||² = n tu vois qu'on a < X | U >²=||X||²||U||²
c'est le cas d'égalité dans l'inégalité de cauchy shwarz qui n'a lieu
que si les 2 vecteurs X et U sont colinéaires ainsi tous les xi sont égaux et la 1ère équation donne qu'ils valent tous a .
CQFD
remarques:
Tu vois bien que la 1ère et la 2ème équation de ton systéme suffisent pour conclure.

On peut aussi voir le probléme de la maniére suivante:
x1+x2+..+xn = na est l'équation de l'hyperplan (H) de R^n passant par le point A=(a,a,..,a) et de vecteur normal U .
x1²+x2²+..+xn² = na² est l'équation de l'hypersphére (S) de R^n de centre O=(0,0,..,0) et de rayon r=|a|n ( (S) passe par A )
si on calcule la distance de O à (H) on trouve:
d(O,(H))=|-na|/||U||=r
ce qui veut dire que (H) est tangent à (S) en A ainsi le n-uplet (a,a,..,a) est l'unique solution de ton systéme.
CQFD