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Résolution d'une équation matricielle
Bonjour,
Je bloque sur la résolution de l'équation matricielle suivante : dans
.
Si solution alors
est un polynôme annulateur de
et donc elle est diagonalisable dans
car il est scindé à racines simples sur
.
Considérons l'endomorphisme canoniquement associé à
.
Vu que la matrice est réelle alors les deux valeurs propres ont même multiplicité égale à la dimension des sous-espaces propres associés. Donc
avec
la dimension d'un sous-espace propre.
En prenant base de
on montre facilement que
est une base de
.
est une base de
. En prenant
alors nous obtenons une base de
avec des éléments de
.
Mais je ne vois pas comment conclure que est
-semblable à
. Car on doit trouver une base de
mais la base que nous trouvons est de cardinal :
.
J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre cette différence entre et
car cela m'a bien embrouillé durant l'exercice.
Merci d'avance,
salut
pour tout vecteur u non nul :
1/ montre que f(u) n'est pas colinéaire à u
2/ vérifie que le plan P = vect(u, f(u)) est stable par u et que la matrice de f restreinte à ce plan vectoriel est
(0 -1)
(1 0)
3/ recommencer avec un vecteur v du supplémentaire de P dans R^n
Bonsoir,
Merci pour votre réponse. Je suivrai votre solution aussi. Mais j'aimerai comprendre comment on obtient la base de à partir de celle de
. Car si
est un
-espace vectoriel de dimension
alors c'est un
-espace vectoriel de dimension
non ?
Merci d'avance,
Vous avez raison. Mais la base qu'on trouve est de 
n et la base qu'on obtient pour 
n est de même cardinal. C'est possible s'il vous plaît ?
Bonsoir !
Tu peux tout faire en restant dans l'ensemble des réels !
Par récurrence sur tu montres que si
est libre ainsi que
alors
est libre.
(Il suffit d'écrire une combinaison linéaire nulle, en prendre l'image par puis éliminer
).
Il en résulte que la dimension est paire (on peut l'obtenir plus rapidement en considérant le déterminant de ) et la matrice de
dans la base
lorsque
est de la forme souhaitée.
Bonsoir,
En fait ce qui me tracasse n'est pas la liberté. Mais le cardinal des deux bases.
Au début on avait une base de cardinal pour
et après on a trouvé une base de cardinal
pour
. Cela veut dire que
.
C'est ca qui me tracasse en fait.
Merci d'avance,
Il manque une précision dans ton discours !
Il faudrait écrire et c'est même vrai en remplaçant
par un corps quelconque.
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