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Niveau Prepa (autre)
Résolution de z^4+z^3+z^2+z+1
Posté par LCC
Bonjour, comme cela est stipulé dans le titre j'aimerais bien résoudre cette équation mais je n'y arrive pas, un autre post était dédié à cela sans plus de précision.
Pouvez-vous donc m'aider car
-je doit résoudre cette équation et trouver les solutions notés S2
-Exprimer sous forme trigonométrique u + u^-1 selon les valeurs u appartenant a S2 ( je ne sais pas ce qu'est u et u^-1)
-Puis déduire une expression de cos(2pi/5)
Concernant la résolution de l'équation je sais que c'est la somme d'une suite géométrique de raison z ayant 5 termes mais ensuite je n'arrive pas à isoler mon z et voir le rapport avec u ? et encore moins exponentielle (pour faire sortir des cos)
Bonjour, résoudre quoi ? tu n'as pas posé d'équation que je sache.
sinon si tu veux transformer , utilise la formule qui donne la somme des termes d'une suite géométrique.
u sont les solutions de l'équation (que tu n'as pas posée).
u-1 sera surement le conjugué de u donc u + 1/u va donner le double des parties réelles des solutions
Désole l'équation à résoudre est z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0
J'ai utilisé la formule d'une suite géométrique mais j'obtient (1-z^5)/(1-z) et je n'arrive pas à la résoudre, la puissance 5 me bloque et je ne pense pas que le résultat avec une puissance cinquième soit attendu..
C'est vraiment classique pourtant !
z5 = 1 donc les racines cinquième de l'unité (sauf 1)
u=e2ik
/5 avec k=1;2;3;4
Effectivement.., merci beaucoup, et donc j'en conclue que une expression de cos (2pi/5) est simplement la partie Réel de e2ikpi/5 ?
Bonjour,
j'ai la même équation à résoudre (Z4+Z3+Z2+Z+1=0) mais on me demande pour cela de passer par le changement de variable : u = z + 1/z
Ainsi je suis sensée trouver des solutions de la forme cartésienne :
( (m+n
p )/(q) + i((m'+n'(p') )
Mais j'ai beaucoup de mal à exprimer u en fonction de z pour le remplacer dans l'équation...
J'ai fini par dire que Z devait être de module 1 (je n 'en ai aucune preuve si ce n'est en résolvant la équation comme vous et en disant que z est racine 5ème de l'unité). Ainsi je pouvais écrire que :
u = Z + "conjugué de Z"
donc
u = 2 Re(z)
donc
Re(z) = u/2
J'ai alors remplacé les z de l'équation par des mais je ne sais pas vraiment continuer...
Quelqu'un saurait comment procéder s'il vous plaît ?
Bonjour,
Je dois résoudre une équation plutôt classique en passant par un chemin que je ne sui pas sûre de bien comprendre.
L'équation à résoudre est :
Je pensais tout simplement passer par les racines 5ème de l'unité mais il semblerait que l'on me demande de passer par ailleurs.
En effet on me demande pour cela de passer par le changement de variable :
Ainsi je suis sensée trouver des solutions de la forme cartésienne :
Mais j'ai beaucoup de mal à exprimer u en fonction de z pour le remplacer dans l'équation...
J'ai fini par dire que Z devait être de module 1 (je n 'en ai aucune preuve si ce n'est en résolvant la équation en disant que z est racine 5ème de l'unité). Ainsi je pouvais écrire que :
donc
donc
J'ai alors remplacé les z de l'équation par des u/2 + Im(z) mais je ne sais pas vraiment continuer...
Quelqu'un saurait comment procéder s'il vous plaît ?
*** message déplacé ***
Arrrriane, ce que tu fais là s'appelle du multipost et c'est interdit
si tu as commencé à parler d'un sujet quelque part, tu y restes ! 
De même la forme cartésienne que je suis sensée trouver comporte des racines carrées :
(m+n(p))/q + i(m'+n'(p') )/ q')
Oui je suis désolée mais l'autre sujet était indiqué comme "résolu" donc personne n ' allait jamais y retourner n'est-ce pas ?
Justement non on n'avait pas tout a fait le même énoncé. On me demandais des résultats sous forme cartésienne et pas exponentielle.
Soit z tel que 1 + z + z² + z3 + z4 = 0
On a donc z 
0 et 1/z² + 1/z + 1 + z + z² = 0 donc u := z + 1/z vérifie u² + u - 1 = 0
On en déduit u est dans ... puis que z est dans ....
Ah oui je n'avais pas du tout pensé à cela. Merci
Du coup je n' ai plus qu'à résoudre l'équation du second degré u2+u+1 = 0 pour trouver les valeurs de u. Puis à partir de ces valeurs, je dois résoudre d'autres équations du second degré pour trouver les valeurs de z n'est-ce pas ?
J'ai commencé et j'ai trouvé
u = -5/4 + i3/4 ou u = 1/4 + i3/4
Ensuite j'imagine que je remplace u par Z + 1/Z , que je multiplie les équations par Z pour retrouver du second degré et que je me retrouverai avec 4 valeurs de Z.
Cependant en tentant de résoudre le première, je tombe sur un os : pour trouver des valeurs de 
, qui est la racine carrée de 
, je dois calculer le module de mais cela me donne une forme qui n est pas simplifiable (je trouve 129/2)...
Je pense que j'ai du faire une bête erreur de calcule plus haut mais avant de ne me relancer, je voudrais juste savoir si la méthode que j'emplois est au moins la bonne...