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Resolution equation avec complexe par la methode de Cardan

Posté par
Nicolao 30-08-17 à 17:46

Salut, je révise les complexes cette semaine et j'ai une équation qui me sèche. Alors il y a plein d'autre moyen de la résoudre (j'ai même les résultats) mais j'aimerais utiliser la méthode de Cardan (que je n'ai jamais utilisé mais je la trouve tellement cool). Voilà le sujet :

On a P(z)=(z^3)-jz²+(1-j)z+2j-2=0 Simpliste si on met en facteur (z-1) et (z-2j) mais avec la méthode de Cardan je devrais récupérer toutes les solutions non ?

PS: j=i et non -1/2+i*(racine(3)/2)

Bon j'ai déjà réduit mon equation sous la forme (Z^3)+pZ+q=0 avec la méthode de résolution de changement de variable Z=z-(b/3a) avec b=-j et a=1.

J'ai donc p=(4/3)-j et q=((-2/27)j^3)+(7/3)j-(5/3)

Super je pose z=u+v et je trouve que :

1. (uv)^3=-q
2.(uv)^3=-((p^3)/27)

Donc u^3 et v^3 sont solution de X²+qX-((p^3)/27)

Je résous le boxon en calculant DELTA=b²-4ac je trouve DELTA=-(4646/27)-(52/81)j

j'=-6969/26

Typiquement DELTA=0 si j=j' Delta<0 si j>j' et DELTA>0 si j<j'..... Bon là je suis perdu (j'ai peut être des erreurs de calculs vu que je ne suis absolument pas calme en ce moment même). Mais il y aurait, à l'équation P(z), une solution réelle a=1 une solution imaginaire pure z=2j et une troisième solution complexe z'=-1-j....

Enfin voilà, c'est peut être n'importe quoi, il y a peut être des notions que je n'ai pas bien compris mais je m'exerce à comprendre une méthode qui n'est pas encore dans mon programme donc je me fait pas trop de souçis.

Merci d'avance.

Nicolao.

Posté par
jsvdbre : Resolution equation avec complexe par la methode de Cardan 30-08-17 à 19:42

Bonjour Nicolao
La méthode de Cardan marche très bien sur tout corps de caractéristique différente de 2 et 3. Le tout est de ne pas se prendre les pieds dans le tapis bien épais des calculs.
Alors tu peux consulter ceci :

Posté par
luzakre : Resolution equation avec complexe par la methode de Cardan 31-08-17 à 08:58

Bonjour Nicolao
Quel pataquès !
Si tu veux le complexe i tu l'appelles i et non pas j (ici on fait des maths, pas de l'électricité).
Si tu fais des conditions sur le complexe i (comme l'égaler au rationnel -6969/26 tu ne peux que dérailler.
Enfin il n'y a pas de comparaison sur les complexes : ton équation du second degré (la résolvante) a deux racines (distinctes puisque le discriminant n'est pas nul) z_1,z_2 et tu dois chercher une racine cubique de chacun de ces complexes.

Pour utiliser la méthode de Cardan tu devras aussi utiliser le complexe j racine cubique de 1 et comme tu as "bloqué" cette notation depuis le début je ne sais pas où tu espères arriver...

Posté par
Nicolaore : Resolution equation avec complexe par la methode de Cardan 31-08-17 à 21:12

Merci Luzak et jsvdb.

Bon je ne cherchais pas vraiment ce genre de réponse m'étant déjà renseigné sur la méthode mais tout est enfin rentré dans l'ordre.

L'énoncé m'exigeait la notation "j", (Pour le coup je fait de la physique). Au fait petite question, on s'en carre un peu des notations tant que l'on défini leur valeur respective non ?

J'ai osé faire une comparaison de complexe car je ne trouvais pas comment faire apparaître un réel, un imaginaire pure et un complexe avec deux racines cubique contenant "j" (aucune élévation au carré possible rien...).  C'est un peu la technique du court-circuit pour repérer l'erreur que l'on ne connais pas et de ma petite expérience c'est vachement efficace.   J'aurais dû le dire sur mon premier post, j'ai écris bêtement ce qu'il y avait sur ma feuille.


Je mettrais la résolution de l'exercice demain quand j'aurais un peu plus de temps.

Merci encore et bonne journée.

PS: Pour ceux qui passe par là (et qui ne sont pas des profs ) petit rappel de cours :  "Les nombres complexes par définition sont des nombres qui n'ont pas de réalité physique. Autrement dit ils ne sont là que pour résoudre des équations, ou pour faciliter des calculs, mais ne représentent rien de concret. C'est pour ça que l'on ne peux pas les comparer".


Nicolao.

Posté par
verdurinre : Resolution equation avec complexe par la methode de Cardan 31-08-17 à 22:15

Bonsoir,
une petite remarque de la part d'un ex-prof ( je ne suis donc pas prof ).
La méthode de Cardan ne marche pas bien du tout.
En particulier parce qu'il faut deviner quelles déterminations de la « racine cubique  » il faut choisir.
Par exemple :
\sqrt[3]{1} +\sqrt[3]{-1}
peut désigner, a priori, 9 nombres complexes. En fait, il n'y en a que sept, mais ça fait quand même trop.

Et j'espère que  :  

Citation :
"Les nombres complexes par définition sont des nombres qui n'ont pas de réalité physique. Autrement dit ils ne sont là que pour résoudre des équations, ou pour faciliter des calculs, mais ne représentent rien de concret.  C'est pour ça que l'on ne peux pas les comparer".

ne figure pas dans ton cours.
Aucun nombre ne représente quelque chose de concret.
Du moins suivant ma définition de concret.

Posté par
lafol Moderateurre : Resolution equation avec complexe par la methode de Cardan 31-08-17 à 22:33

Bonsoir
j'ajoute que ce n'est pas parce que les complexes ne représenteraient rien de concret (quoi que ... dans les représentations de Fresnel, ils représentent des trucs assez concrets, non ?) qu'on ne peut pas les comparer. De fait on peut les comparer : par exemple par l'ordre lexicographique sur le couple (partie réelle, partie imaginaire)
Ce qu'on ne peut pas faire, c'est déterminer un ordre compatible avec la multiplication : en effet, vu la règle des signes qui devrait alors s'appliquer, tous les complexes seraient positifs, et ainsi définir "z plus petit que z' si et seulement si z-z' est négatif" deviendrait assez difficile ...

Posté par
luzakre : Resolution equation avec complexe par la methode de Cardan 01-09-17 à 08:08

verdurin @ 31-08-2017 à 22:15

Bonsoir,
une petite remarque de la part d'un ex-prof ( je ne suis donc pas prof ).
La méthode de Cardan ne marche pas bien du tout.
En particulier parce qu'il faut deviner quelles déterminations de la « racine cubique  » il faut choisir.
Par exemple :
\sqrt[3]{1} +\sqrt[3]{-1}
peut désigner, a priori, 9 nombres complexes. En fait, il n'y en a que sept, mais ça fait quand même trop.

Bonjour !
En fait si on raisonne correctement il n'y a pas de "choix de détermination".
On part de uv=?? et on élève au cube pour trouver la résolvante qui donnera u^3,v^3.
Il suffit alors de choisir pour u une racine cubique de u^3 (il y en a trois) et utiliser le produit uv pour obtenir le v qui lui est associé (les conditions sur uv et u^3+v^3 sont nécessaires et suffisantes) : on aurait ainsi trois couples (u,v) d'où les trois racines u+v de l'équation mise sous forme canonique.
P.S. Le v obtenu par le produit uv est effectivement une racine cubique de v^3 et il n'est pas impossible de la représenter par une écriture de \sqrt[3]??


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