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Résolution équation degré 3 méthode de "Cardan"
Bonjour tout le monde, je suis en SUP et j'ai ce Devoir Maison pour lundi qui vient.
Je mets le sujet :
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But : On cherche les racines d'un polynôme de degré trois
.
1. On va d'abord se débarrasser du coefficient b. Montrer qu'en posant Y = X - 
et en choisissant bien , on peut se ramener à chercher les racines d'un polynôme Q de la forme
.
Donner les valeurs de , p et q en fonction de (b,c,d). On va chercher les racines complexes de Q, sous la forme z = u + v, avec u et v deux complexes.
2. On suppose que z est une racine de Q, donc que z^3 + pz + q = 0. On pose z = u + v. Ecrire l'équation vérifiée par u et v.
3. On fait l'hypothèse supplémentaire 3uv + p = 0. Montrer que l'équation précédente devient alors .
4. On connaît donc la somme de ainsi que leur produit
Pourquoi peut-on en déduire que et
sont les deux racines du polynôme
?
5. En déduire les valeurs de et
suivant les différentes valeurs de
, le discrimimant de R. (Il y a normalement deux couples possibles puisqu'on peut permuter et
mais cela n'aura pas d'importance pour la suite donc choisissez un ordre arbitraire).
6. Montrer qu'on peut alors en déduire les trois valeurs possibles pour u : ,
et
où j désigne le nombre complexe
. Montrer qu'une fois la valeur de u choisie parmi ces trois possibilités, v doit prendre une unique valeur. On note
la valeur associée à
. Exprimez les valeurs de v associée à
et
en fonction de
et j.
7. En déduire que les solutions possibles pour Y sont : ,
,
.
8. Que vaut ? Développer
et en déduire que c'est bien la factorisation dans 
de .
9. APPLICATION : Essayer cette méthode avec les équations
Utiliser et
...
Utiliser et l'égalité conjuguée,
.
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Par contre, je m'excuse mais je ne pourrai mettre mes réponses ici que demain car j'ai DS comme tous les samedis.
Désolé !
Par contre, je m'excuse mais je ne pourrai mettre mes réponses ici que demain car j'ai DS comme tous les samedis.
T'inquiète surtout pas !
Je crois qu'on arrivera à patienter
...
Et bon DS !
Bon, heu.... je ne le comprends vraiment pas ce DM...
Pour la 1)
Quand je développe Y^3 + pY + q j'ai :
X^3 - 3alphaX^2 + 3alpha^2X - alpha^3 + q + p(X - alpha)
Ensuite je ne sais pas quoi faire pour répondre à la question...
2) J'aboutis à p(u + v) + u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + q
....
Je suis nul...
Re bonjour, alors après bien longtemps j'ai trouvé la solution de la PREMIERE question...
alpha = -b/3
p = c - b^2/3 et q = (2b^3)/27 - (bc)/3 + d
Alors maintenant je travaille la deuxième question et j'aboutie bien à ce que j'ai écrit juste au dessus.
Maintenant pour la question 3, je ne vois pas comment justifier cette équivalence... 
C'est un devoir que tu dois rendre le 25 juin 2013 ? 
C'était de l'humour.
Il n'y a aucune équivalence à montrer, mais seulement une conséquence domimée par une hypothèse importante, à savoir . Cependant, pour la question 2), à quelle expression parviens-tu ?
A +
Désolé du flood mais comme il n'y a personne je montre mon avancement au fur et à mesure.
La question 3 j'ai réussi à prouvé l'équivalence.
Je suis maintenant bloqué à la 4...
attention on te dit qu'on veut se débarrasser de b... et la question 3 il suffit de remplacer dans l'équation que tu as trouvé dans le 2, (3uv + p) par 0
PS: prépa mpsi baimbridge??
La question 4) ! Si je te dis que et
sont tels que
et
, ces nombres sont solutions de quelle équation ? Application et conclusion !
Pour ma part, je m'appelle (...)
A +
vas sur http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan pour la question 4
et si tu es en mpsi à bailbridge, demain tu n'auras qu'à dire mon pseudo et on verra, et question 5 bah tu calcul le descriminant
Pour la 6 j^3 = 1
Mais je suis toujours coincé à la 4 moi (-_-')
Si on a X = u^3 + v^3
R = (u^3 + v^3)(u^3 + v^3) + q(u^3 + v^3) -p^3/27
R = q^2 - q^2 -p^3/27
R -p^3/27
Ca ne fait pas zéro... bizarre ou je m'y prend mal (ça doit être ça...)
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