Niveau terminale

Résolution limite de (sin(x)-x)/x² tend vers 0

Posté par
Tanguy21 04-01-13 à 12:11

Bonjour,
j'ai pour la semaine prochaine un DM de math et suis bloqué par un exo ou nous devons calculer la limite suivante:
$$\lim\limits_{x \to 0}$(sin(x)-x)/x^2$
j'ai essayé d'utiliser la limite connue sin(x)/x x-->0 =1 mais je n'y arrive pas.

Merci d'avance

Posté par re : Résolution limite de (sin(x)-x)/x² tend vers 0 04-01-13 à 13:57

Bonjour, bonne année 2013.

$\dfrac{sin(x)-x}{x^2} = \dfrac{1}{x}\times (\dfrac{sin(x)}{x} + 1)$

$\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = ...$

$\lim_{x\to 0} \dfrac{sin(x)}{x} = 1$

$(1 + 1) = ...$

D'où $\lim_{x\to 0^+} \dfrac{sin(x) + x}{x^2} = ...$

$\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = ...$

D'où $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{sin(x) + x}{x^2} = ...$

Mathx96

Posté par re : Résolution limite de (sin(x)-x)/x² tend vers 0 04-01-13 à 16:05

Bonjour, et a vous aussi bonne année
Merci pour votre réponse mais il y a un moins qui a sauté (c'est pas $(sin(x)+x)$ mais $sin(x)-x$ et avec votre technique ça refait tomber sur 1-1=0 facteur +infini et c'est une FI.
Si vous avez encore une idée je veus bien j'ai toujours pas trouvé merci

Posté par re : Résolution limite de (sin(x)-x)/x² tend vers 0 04-01-13 à 16:28

Ah oui exact !

Donc je vois plusieurs méthodes mais avant je voudrais m'assurer d'un truc, connais-tu le théorème de l'hôpital ?

Certains professeurs de lycée l'admettent pour lever les indéterminations en $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$

Posté par re : Résolution limite de (sin(x)-x)/x² tend vers 0 04-01-13 à 16:36

Non, je suis tombé dessus ce matin pour une autre indétermination mais on l'a pas vu en cours
Encore merci

Posté par re : Résolution limite de (sin(x)-x)/x² tend vers 0 04-01-13 à 17:07

Ok alors du coup, niveau Terminale je n'en vois qu'une autre :

Il faut que tu sépares 2 cas : \R^+ et \R^-

$\red{\text{Sur }\R^+\text{ : }$

Tu démontres que $x-\dfrac{x^3}{6}\le sin(x)\le x$ et là tu pourras appliquer le théorème des gendarmes.

Comment démontrer ça tu vas me dire ?

Et bien :

$\normalsize \red{I)}$ tu poses $f(x) = sin(x) - x$ , et tu étudies la fonction : Tu calcules $f'(x)$ ,

tu en déduis que $\forall x\in \R^+, f'(x) \le 0$ , tu en déduis que $f$ est strictement décroissante sur $\R^+$ avec f(0) = 0.

Donc f possède un maximum en 0 sur $\R^+$ , donc $f(x)\le 0$ sur $\R^+$ d'où $sin(x) \le x$ sur $\R^+$ .

$\normalsize \red{II)}$ Tu poses $g(x) = x - \dfrac{x^3}{6} - sin(x)$ . Tu calcules $g'(x)$ , puis $g''(x)$ car tu ne connais pas le signe de $g'(x)$ .

Tu trouves $g''(x) = f(x)$ . Donc tu en déduis les variations de $g'(x)$ sur $\R^+$ . Tu trouves $g'(0) = 0$ et $g'(x)$

décroissante sur $\R^+$ , d'où $g'(x) \le 0$ sur $\R^+$ .

Tu en déduis que $g(x)$ est décroissante sur $\R^+$ , tu calcules $g(0)$ et tu en déduis le signe de $g(x)\text{ } \forall x\in \R^+$

Donc tu as démontré que sur $\forall x\in \R^+ , x-\dfrac{x^3}{6}\le sin(x)\le x$

Tu peux donc calculer $\lim_{x\to 0^+} \dfrac{sinx-x}{x^2}$ d'après le théorème des gendarmes.

Ensuite, il te faut recommencer la démarche sur $\blue{\text{Sur }\R^+\text{ : }$

$x-\dfrac{x^3}{6}\ge sin(x)\ge x$

Et là tu en déduis $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{sinx-x}{x^2}$ d'après le théorème des gendarmes.

C'est un peu plus long qu'avec le théorème de l'hôpital, mais bon courage !

Mathx96

Posté par re : Résolution limite de (sin(x)-x)/x² tend vers 0 04-01-13 à 17:08

Oups, la deuxième partie c'est $\blue{\text{Sur }\R^-}$ évidemment.

Posté par re : Résolution limite de (sin(x)-x)/x² tend vers 0 05-01-13 à 18:08

Ok merci. J'avais pas compris le rapport car en première partie d'Exo on avait a démontrer l'encadrement. Mais je croyais que le théorème des gendarmes s'utilisait uniquement sur les infini.

Encore un grand merci

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