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Résoudre des problèmes: Sondages par échantillonnage aléatoire
Bonjour/soir,
J'espère que vous allez bien et que vous passez de bonnes fêtes,
J'ai un exercice sur lequel je bloque depuis ce matin et ce dès la première question... 
De l'aide serait la bienvenue 
!
Voici l'énoncé:
Le 21 avril 2002, Jean-Marie Le Pen accède au second tour de l'élection présidentielle avec 16,86% des suffrages exprimés. Pourtant, une semaine avant le vote, les sondages estimaient à 13% le score de Jean-Marie Le Pen.
Objectif: on se propose d'analyser l'interprétation des sondages.
1. On suppose qu'un sondage a été réalisé auprès de 1 000 personnes une semaine avant les élections et que sur ces 1 000 personnes interrogées, 130 avaient déclaré vouloir voter pour Jean-Marie Le Pen.
On assimile le choix de cet échantillon à un tirage au hasard avec remise.
On fait l'hypothèse que la proportion des électeurs de l'échantillon qui voteront pour Jean-Marie Le Pen est p= 0,1686.
X est la variable aléatoire qui donne le nombre d'électeurs de l'échantillon qui voteront pour ce candidat.
a) Justifier que X suit une loi binomiale. Quels en sont les paramètres?
b) Réaliser la feuille de calcul ci-contre qui affiche les probabilités P(X< k) pour les nombres entiers naturels k de 0 à 1 000. (image jointe)
Dans la cellule B2, saisir la formule =LOI.BINOMIALE(A2;1000;0,1686;1).
c) Déterminer, avec la loi de X:
• le plus petit entier naturel a tel que P(X
a)
0,025;
• le plus petit entier naturel b tel que P(Xb)0,975.
Interpréter ces valeurs.
d) Que peut-on penser du nombre de personnes sondées dans l'échantillon qui ont déclaré avoir l'intention de voter pour Jean-Marie Le Pen ? Justifier la réponse.
2. L'institut de sondage fait l'hypothèse que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour ce candidat ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour un autre candidat, tandis que 5 % des personnes déclarant vouloir voter pour un autre candidat ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour ce candidat.
On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note:
- S l'événement : « La personne interrogée affirme vouloir voter pour Jean-Marie Le Pen»;
- V l'événement :« La personne interrogée dit la vérité ».
a) Représenter la situation par un arbre pondéré.
b) Calculer la probabilité P(V).
c) Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu'elle affirme vouloir voter pour Jean-Marie Le Pen. Arrondir au millième.
d) Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour ce candidat est de 0,1605.
e) L'institut de sondage annonce alors que 16,05 % des personnes interrogées voteront pour ce candidat. Cette estimation est-elle cohérente avec le résultat des élections ?
Justifier que X suit une loi binomiale.
C'est la première question. Ici, on te demande quasiment de recopier ton cours.
Quelle est la définition d'une loi binomiale ?
Et au passage, quels sont les mots importants dans cette définition.
Pour la question 1b, on te dit de copier une formule dans un tableur. Tu lances ton ordinateur, tu lances excel (ou un autre tableur), et tu recopies la formule ... que dire de plus ?
La définition de la loi binomiale de mon cours est :
On appelle schéma de Bernoulli la répétition un certain nombre de fois d'une même épreuve de Bernoulli de façon indépendante.
On considère un schéma de Bernoulli constitué de n épreuves où la probabilité du succès est p. X est la variable aléatoire qui donne le nombre de succès lors de ces épreuves.
La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p, et notée B(n;p)
Ok la définition, c'est simple, mais la où je bloque, c'est dans la deuxième partie de la question:
Quels en sont les paramètres?
Déjà, p= 0,1686. C'est dans l'énoncé, mais n?
J'ai un autre chapitre à réviser et je pense que vous êtes occupé(e). 
Quelqu'un d'autre pourrait prendre le relais s'il vous plait?
Pour la première question, on répète des épreuves identiques et indépendantes. chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec). X compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
C'est la justification pour dire pourquoi c'est une loi binomiale.
Oui , ça me paraît complet. Et effectivement, n=1000.
Epreuves identiques : A chaque fois, on interroge une personne, et on considère que cette personne a une proba p=0.1686 de répondre JMLP.
Epreuves indépendantes : même si je sais les réponses des 10 premières personnes interrogées, ça ne change rien pour la suite de l'expérience.
Pour la question suivante, il faut utiliser un tableur.
Si tu copies la formule donnée, normalement, les résultats affichés correspondent à ceux donnée dans la copie-écran.
... et je laisse d'autres intervenants participer
Oui c'est bien ce que ça m'affiche!!
Pour la suite, est ce qu'on peut m'expliquer c'est quoi a et b, je comprends pas ce que c'est. 
Pour la question c, je pense que la solution attendue par le prof, c'est d'utiliser le tableur.
Mais tu es en terminale, tu as quasiment le droit de vote !!! Donc il faut savoir se prendre par la main, et avancer.
Tu as besoin que quelqu'un sur ce site t'autorise à prendre ta calculatrice ?
Avance, répond à toutes les questions !
Vous avez raison... Je m'excuse.
J'ai utilisé le tableur comme vous l'avez dit, et je trouve qu'a partir de k=146, P(Xk) devient supérieur à 0,025.
Et à partir de k=192, P(Xk) est supérieur à 0,975.
Ok. Donc ton tableur fonctionne correctement , et toi, tu sais lire.
Mais pourquoi tu t'arrêtes ????????? On te demande d'interpréter ces valeurs. Vas-y , dis ce que ça t'inspire.
Je sais ce que je veux dire mais j'arrive pas à le formuler!!!
Bon, je vais essayer et j'espère que vous allez comprendre:
Pour k146, la probabilité des électeurs de l'échantillon qui voteront pour JMLP est supérieur à 0,025.
MAIS J'ai l'impression de me répéter!!
Ca change rien de ce que j'avais dit précédemment...
Bref, pour k192, la probabilité des électeurs de l'échantillon qui voteront pour JMLP est supérieur à 0,975.
Et j'ai l'impression que ca na strictement aucun sens, il ya trop de personnes qui voteront pour lui
Pour k>=146, la probabilité des électeurs de l'échantillon qui voteront pour JMLP est supérieur à 0,025.
Même cette phrase, elle veut dire quoi ?
Sur la ligne avec le 146 , tu as copié une formule : =LOI.BINOMIALE (...;...;...;1)
Les 3 paramètres que j'ai anonymisés, ils représentent quoi ?
N c'est le nombre de personnes interrogées, et p c'est la proportion des électeurs de l'échantillon qui voteront pour JMLP
=LOI.BINOMIALE(A148;1000;0,1686;1)
Oui, et le contenu de la cellule A148, c'est le nombre 146.
Cette formule dit quoi ?
Tu peux regarder l'aide de la fonction LOI.BINOMIALE dansExcel (tu peux y accéder en utilisant la fonction
Prenons un autre contexte. J'ai une urne avec plein de boules (des millions), et 16.86% des boules sont noires.
Je tire 1000 boules.
Normalement, je vais avoir environ 160 ou 170 boules noires. Si je suis très chanceux, je vais avoir 168 ou 169 boules noires. Et si je suis malchanceux, je peux avoir beaucoup moins (ou beaucoup plus) de boules noires.
Dans 2,5% des cas, on aura 146 boules noires ou moins, et dans 2,5% des cas, on aura 192 boules noires ou plus.
En d'autres mots, dans le monde des sondages, si on interviewe 1000 personnes, on n'est pas à l'abri de tomber sur 1000 personnes moyennement représentatives. Et quand la proportion d'individus X est de 16,86 dans la population totale, nous, dans notre échantillon, on aura en général entre 146 et 192 individus X.
Si on a une population 'infinie', avec une proportion 16.86% de rou
Merci beaucoup pour votre explication, mais il y a une partie que je ne comprend pas:
Dans 2,5% des cas, on aura 146 boules noires ou moins, et dans 2,5% des cas, on aura 192 boules noires ou plus.
Pourquoi 2,5% des cas, on aura 192 boules noires ou plus alors que pour k192, la probabilité des électeurs de l'échantillon qui voteront pour JMLP est supérieur à 0,975.
Attention à la rédaction, parce que ta phrase veut tout et rien dire.
Dans 97.5% des cas, on a moins de 192 boules noires : ça, c'est le résultat 'direct' lu dans le tableau.
Ou pour revenir dans le contexte : si j'interroge 1000 personnes, dans 97.5% des cas, je vais avoir moins de 192 personnes qui déclarent voter pour JMLP.
Si je fais plein de sondages, dans les mêmes conditions, j'ai 97.5% des sondages qui vont me donner moins de 192 électeurs pour JMLP, et par complément, j'ai 2.5% des sondages qui vont me donner plus de 192 électeurs pour JMLP.
Alors la, wow. Ca fait tellement du bien de comprendre les maths.
Donc pour interpréter les valeurs, on dit tout simplement:
Dans 2,5% des cas, on aura 146 personnes qui voteront pour JMLP ou moins, et dans 2,5% des cas, on aura 192 personnes ou plus qui voteront pour JMLP car si j'interroge 1000 personnes, dans 97.5% des cas, je vais avoir moins de 192 personnes qui déclarent voter pour JMLP, et par complément, dans 2.5% des cas, je vais avoir plus de 192 personnes qui déclarent voter pour JMLP.
Est-ce bon?
Oui, c'est bien.
Et dans la vraie vie, les gens qui font des sondages parlent de marge d'erreur.
Si dans la population totale, on a 16.86% des personnes qui comptent voter JMLP, si on interroge 1000 personnes, on peut être plus ou moins chanceux, et trouver 160, 180, ou même 190 personnes qui déclarent voter JMLP.
Et du coup, dans la vraie vie, on sait combien de personnes ont déclaré vouloir voter JMLP, mais ça ne nous dit pas précisément combien vont voter pour lui. Si on a 190 personnes sur 1000 interviewés qui déclarent vouloir voter JMLP, peut être qu'il obtiendra 19% des votes (190/1000=19%) ou bien 17%, ou bien 21% ...
A 1% ou 2% près, on ne sait pas.
Allez, go, questions suivantes.
Ah mais ça répond à la question d ça?
d) Que peut-on penser du nombre de personnes sondées dans l'échantillon qui ont déclaré avoir l'intention de voter pour Jean-Marie Le Pen ? Justifier la réponse.
Bon ça justifie pas, mais attendez
On nous a dit dans la consigne, que 16,86% des personnes comptent voter JMLP parmi les 1000 personnes interviewés, ca veut dire 169 personnes environ. Mais dans 2,5% des cas, on aura 146 personnes qui voteront pour JMLP ou moins, et dans 2,5% des cas, on aura 192 personnes ou plus qui voteront pour JMLP.
Ca veut dire que dans 95% des cas on a plus de 146 personnes et moins de 192 personnes qui vont voter pour JMLP.
Relis l'énoncé.
Pas la question .... mais l'énoncé de l'exercice. C'est à dire toute la partie avant a) Justifier ... ...
Non seulement, relis l'énoncé, mais réécris-le, avec tes mots à toi. Dans ton jargon, avec des phrases courtes, que tu es sûre de comprendre.
Ok, donc 130 personnes sur les 1000 personnes interviewées ont déclaré vouloir voter pour JMLP. Mais 16,86% ont votés pour lui.
Et que finalement, cet interview a permis d'estimer plus ou moins le score de JMLP mais il ya toujours une marge d'erreur, comme vous l'aviez dit.
Oui et non.
Oui, on nous demandait de commenter le 130 ; mais le commentaire ne convient pas.
Seulement 130 personnes ont 'avoué' avoir l'intention de voter pour JMLP, et ce 130 n'est pas dans la fourchette [146,192]. Il en est même assez loin.
Raisonnablement, si on avait eu entre 146 et 192 réponses 'JMLP', le résultat final de 16.86% était logique, il aurait été cohérent avec le sondage fait une dizaine de jours auparavant.
Mais 130, c'est très peu. On peut donc dire qu'il y a un écart significatif entre le résultat du sondage et le résultat de l'élection.
En fait, cet exercice relate ce qui c'est réellement passé à l'élection présidentielle de 2002. Les sondages étaient peu fiables, parce que les électeurs déclaraient vouloir voter pour X ou Y ... et votaient pour JMLP.
Et c'est très exactement le thème de la suite de l'exercice.
Merci beaucoup, c'est un peu l'idée que j'avais mais je ne savais vraiment pas comment le formuler, c'était très flou.
Donc pour la question D:
Comme nous l'avions vu dans la question c, dans 2,5% des cas, on aura 146 personnes qui voteront pour JMLP ou moins, et dans 2,5% des cas, on aura 192 personnes ou plus qui voteront pour JMLP. Cela signifie quand l'intervalle [146,192] le nombre de réponses pour JMLP aurait été cohérent pour un résultat final de 16.86%. Mais 130 personnes ont déclaré avoir l'intention de voter pour JMLP, 130 n'est pas dans l'intervalle [146,192]. On peut donc dire qu'il y a un écart significatif entre le résultat du sondage et le résultat de l'élection.
Maintenant, la partie 2:
L'institut de sondage fait l'hypothèse que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour ce candidat ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour un autre candidat, tandis que 5 % des personnes déclarant vouloir voter pour un autre candidat ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour ce candidat.
Si j'ai bien compris, ca veut dire que par exemple, sur 1000 personnes on a 130 personnes qui veulent voter pour JMLP:
- 10% des 130 personnes, soit 13 personnes ne disent pas la vérité et vont voter pour qlq d'autre.
-Et que 5% des 870 personnes restantes, soit 44 personnes environ, vont voter pour JMLP alors qu'ils disaient qu'ils allaient voter pour qlq d'autre.
- S l'événement : « La personne interrogée affirme vouloir voter pour Jean-Marie Le Pen»;
- V l'événement :« La personne interrogée dit la vérité ».
dans 2,5% des cas, on aura 146 personnes qui voteront pour JMLP ou moins, et dans 2,5% des cas, on aura 192 personnes ou plus qui voteront pour JMLP.
Non, je ne suis pas vraiment d'accord avec cette phrase.
Il y a 2 étapes qu'il faut bien séparer.
Il y a un sondage. Au cours du sondage, on interroge 1000 personnes, et les personnes déclarent x ou y. Au cours du sondage, les personnes ne votent pas, elles répondent à une question.
Et par ailleurs, il y a une élection. Là, il y a 20 Millions de personnes qui votent, et il y a 16.86% de ces 20 millions de personnes qui votent pour JMLP.
Il faut être très rigoureux dans le choix des mots.
Et pour le message de 17h04, non, pas d'accord du tout.
Dans 2,5% des cas, on aura 146 personnes qui pensent voter pour JMLP ou moins, et dans 2,5% des cas, on aura 192 personnes ou plus qui pensent voter pour JMLP.
La c'est mieux?
Dans 2,5% des cas, on aura 146 personnes qui pensent voter pour JMLP ou moins,
et dans 2,5% des cas, on aura 192 personnes ou plus qui pensent voter pour JMLP.
Dans la 1ère partie de la phrase, tu as rejeté 'ou moins' tout à la fin de la phrase.
Alors que dans la 2ème partie, tu as mis 'ou plus' au milieu.
Pourquoi ?
C'est volontaire ?
Je chipote, mais un matheux passe son temps à chipoter.
Et là tu parles des 2 cas rares, les cas où le sondeur a vraiment été malchanceux. Et tu ne parles pas du tout du cas qui est nettement majoritaire : Dans 95% des cas, on aura entre 146 et 192 personnes qui déclarent vouloir voter pour JMLP.
Je reprends le verbe utilisé dans l'énoncé : les 1000 personnes interviewées (pensent) déclarent vouloir voter pour ... ou ...
Désolé mais mes erreurs me font vraiment rire, je suis épuisé de travailler depuis ce matin 
Mais on lache rien!
Bref,
Pour l'arbre, je n'ai pas mis de valeurs numériques pour les premières branches, est-ce bon? Je ne voyais pas quoi mettre.
On nous demande de calculer la probabilité P(V) mais on a pas la première partie de l'arbre, comment faire?
Pour la première partie de l'arbre (pour remplacer p et p-barre par des valeurs numériques), tu dois utiliser l'information : 130 personnes ont déclaré vouloir voter JMLP.
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