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résoudre équations trigonométriques

Posté par
selineks 03-01-18 à 15:03

Bonjour tout le monde!
Je suis en première et je bloque sur un exercice de maths, voici la consigne:

Effectuer la résolution dans R, puis dans ]-; ], de chacune des équations suivantes.
a. cos(3x-\frac{\pi }{4} ) = cos(x+\frac{\pi }{3} )
b. 2sin (x -\frac{\pi }{4} ) - 1 = 0
c. cos2 x= cos2 \frac{\pi }{7}
d. 2cos (3x)-3 = 0
e.sin 3x = 1

Alors je n'arrive pas du tout, auparavant en cours on avait résolut des équations moins dur (du genre cos x = \frac{1 }{2} ) du coup je n'arrive pas à faire pour ces 5. Sachant, je sais que cos x = cos a , pour solutions a + 2k et -a + 2k de plus sin x = sin a , pour solutions a + 2k et - a + 2k

Pourriez-vous m'aider svp? Merci d'en avance !




Posté par
malou Webmasterre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 15:06

regarde cette fiche avec des exemples complètement traités
Résoudre des équations trigonométriques
puis tente la 1re

Posté par
selineksre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 15:15

il n'y a pas un exemple du genre de mon exercice (avex cos (x + fraction)

Posté par
malou Webmasterre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 15:17

la fraction n'est pas gênante, tu la gardes en bloc avec 3x
en bloc (3x-pi/4) c'est le a de cos a

Posté par
vaelisre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 15:24

Théorème : cos(X)=cos(A)\iff \text{il existe } k\in\Z \text{ tel que } X=A+2k\pi \text{ ou } X=-A+2k\pi
Pour résoudre cos(ax+b)=cos(cx+d), tu fais comme si X=ax+b et A=cx+d
cos(ax+b)=cos(cx+d)\iff \text{il existe } k\in\Z \text{ tel que } ax+b=cx+d+2k\pi \text{ ou } ax+b=-(cx+d)+2k\pi

Posté par
selineksre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 15:44

j'ai essayé mais je ne suis pas sure pouvez vous me dire s'il manque quelques choses svp? merci d'en avance;
a. cos(3x-\frac{\pi }{4} ) = cos(x+\frac{\pi }{3} )
\Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{\pi }{3} + 2k avec k un entier relatif
ou 3x - \frac{\pi }{4} = - (x+ \frac{\pi }{3}) + 2k avec k un entier relatif

Posté par
vaelisre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 15:52

Il faut maintenant résoudre les deux équations d'inconnue x.

Posté par
selineksre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 16:12

2x- \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3}
2x = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{4}
2x = \frac{\pi }{3} x [tex]\frac{4}{4} + \frac{\pi }{4} x \frac{3}{3}
2x = \frac{4\pi }{12} + \frac{3\pi }{12}
2x = \frac{7\pi }{12}

j'ai fait comme ça mais il reste le 2, je dois le diviser si je me trompe pas?

Posté par
vaelisre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 16:14

Oui il faut diviser par 2 mais pourquoi le +2k\Pi a disparu dès le début?

Posté par
selineksre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 16:15

j'ai pas encore fait pour 3x - \frac{\pi }{4} = - (x - \frac{\pi }{3} ) car je voulais etres sure de ce que j'ai fais au dessus

Posté par
selineksre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 16:17

j'ai oublié merci pour le rappel !
donc ça me donne x = \frac{7\pi }{24} + 2k

Posté par
vaelisre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 16:20

Mais ce que tu fais est faux/incomplet sans le +2k\pi.

L'équation à résoudre est  3x-\dfrac{\pi}{4} = x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi et pas 3x-\dfrac{\pi}{4} = x+\dfrac{\pi}{3}

Posté par
vaelisre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 16:21

selineks @ 03-01-2018 à 16:17

donc ça me donne x = \frac{7\pi }{24} + 2k

Non... il faut que tu reprennes la résolution depuis le début.

Posté par
selineksre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 17:36

selineks @ 03-01-2018 à 15:44

j'ai essayé mais je ne suis pas sure pouvez vous me dire s'il manque quelques choses svp? merci d'en avance;
a. cos(3x-\frac{\pi }{4} ) = cos(x+\frac{\pi }{3} )
\Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{\pi }{3} + 2k avec k un entier relatif
ou 3x - \frac{\pi }{4} = - (x+ \frac{\pi }{3}) + 2k avec k un entier relatif

selineks @ 03-01-2018 à 16:12

2x- \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3}
2x = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{4} +2k
2x = \frac{\pi }{3} x [tex]\frac{4}{4} + \frac{\pi }{4} x \frac{3}{3} + 2k
2x = \frac{4\pi }{12} + \frac{3\pi }{12} + 2k
2x = \frac{7\pi }{12} +2k

Posté par
vaelisre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 17:54

Oui donc x=... ?

Posté par
selineksre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 18:09

x= \frac{7\pi }{24} + k ?

Posté par
vaelisre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 18:14

selineks @ 03-01-2018 à 18:09

x= \frac{7\pi }{24} + k ?

Oui.
Tu peux donc maintenant résoudre la deuxième.

Posté par
selineksre : résoudre équations trigonométriques 03-01-18 à 21:02

je suis a la troisieme equation et je viens de remarquer que c'est faux des le debut, jai multiplier et il fallait additioner car dans mon cahier d'exos, en cours on avait additioner! Ca me paraissait bizarre ces longs calculs!

Posté par
selineksre : résoudre équations trigonométriques 04-01-18 à 18:19

Bonsoir, la deuxième solution du a jai trouvé: (7pi/48) +2kpi
en traçant  le cercle trigonométrique, je viens de remarquer que les 2 solutions sont au même endroit, c'est normal? car en cours d'habitude, les solutions étaient symétriques..

pour b. 2sin x -(pi/4) - 1 = 0 jai trouvé (5pi/12) + 2kpi et/ou (13pi/12) +2kpi (j'ai simplifié)
pour placer ces points je dois diviser pi en 12 et me placer sur le 5eme point c'est ça?

pour d. 2cos (3x) - V3 =0, jai trouvé  (pi/18) + 2kpi et/ou -(pi/18) +2kpi

pour e. sin 3x = 1 jai trouvé (pi/6) + (2/3)kpi et (pi/6) + (2/3)kpi j'ai touvé la meme chose pour les deux solutions

pour c. cos² x= cos² (pi/7) j'ai trouvé  (π/7) + 2kπ ou -(π/7) + 2kπ mais je crois que y a encore 2 autres solutions je ne suis pas sur pour détaillé jai fais:
cos²x=cos² (π/7)
⇔ cos x = cos (π/7) ou cos x = -cos (π/7)
⇔ x = (π/7) + 2kπ ou x = -(π/7) + 2kπ


Pouvez vous me dire si cest juste svp merci d'en avance!


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