Bonjour, tu devrais étudier les variations de la fonction f(t) = t^4-4t+3

(tu peux aussi essayer de directement factoriser cette expression (en remarquant que 1 est racine double (annule la fonction et la dérivée) et donc que l'on peut mettre (t-1)² en facteur), ça te conduit directement au résultat.)

Bonjour,

et le contexte (l'énoncé entier ??)
et ce que tu as essayé ?

ramener ça à une étude de signe d'un polynome en t ==> chercher à factoriser ce polynome ==> chercher s'il n'a pas des "racines évidentes"

Le prof dit de ne point utiliser l'étude de signe raison pour laquelle j'y arrive pas😢😢

Bonjour glapion j'y arrive pas à exploiter le facteur( t-1)[sup][/sup]. Peut tu m'aider davantage?

tu peux aussi étudier les variations de la fonction g(x) = 4t-t^4 ...
(dérivée etc montrer qu'elle admet un maximum unique)

* maximum minimum bien sur

Oui M. mathafou je trouve le résultat en appliquant ce que vous venez de dire mais le prof demande  d'utiliser une autre méthode. Serai-ce en  mettant (t-1)^2 en facteur? Je suis perdu!!!!

en mettant (t-1)^2 en facteur de f(t) = t^4 -4t+3, pour montrer que cette expression est toujours >0, cela s'appelle faire une étude de signe.

après si le prof exige un méthode en refusant de dire laquelle et en disant juste "non ce n'est pas celle là que je veux" à chaque fois, on risque de chercher longtemps !!!
c'est absurde d'exiger une méthode sans dire laquelle.

Oui vous avez entièrement raison.
Mais il s'agit de montrer que t^4-4t je vous comprend pas normalement si le 3 passe de l'autre côté ce sera t^4-4t-30.
N'est ce pas?

tu peux aussi déguiser l'étude de signe en cherchant à résoudre 4t-t^4 - 3 + 3 ≥ 3
et en factorisant 4t-t^4 - 3 (toujours par le même (t-1)^2, vu que c'est un déguisement du même calcul) montrer que "ce truc" est le produit d'un nombre toujours >0 (le facteur (t-1)^2) par un nombre toujours négatif (le reste)
ce qui est une étude de signe sans jamais utiliser le mot étude de signe ...

Ok je vais essayer je vous enverrai le résultat une fois terminer

La factorisation de n'est ce pas?
Pour faire simple M. Mathafou redigez- moi entièrement cette méthode s'il vous plait!!! Je vous en prie. Car j'arrive pas a exploiter cette méthode🙏🙏

si tu redéveloppes tu obtiens et pas du tout

le problème n'est pas dans la rédaction mais dans le calcul !!

comment as tu fait ?

Faite l'exercice entièrement svp

bein voyons ...
TU montres tes calculs et on corrige là où tu fais des erreurs.

si tu n'arrives pas à factoriser étudie plutôt la fonction f(t) = t^4-4t+3
le signe de la dérivée est simple à étudier et quand tu auras les variations tu pourras facilement montrer qu'elle reste positive ou nulle.

déja dit, mais "le prof ne veut pas de cette solution" ...
(et on ne sait pas ce qu'il "veut" vraiment ...)

Je n'arrive pas à factoriser

tu poses artificiellement f(t)=(t-1)²(t²+bt+c) = t^4-4t+3
tu fais le produit (t-1)²(t²+bt+c) et tu identifies les coefficients à ceux de t^4-4t+3 pour trouver b et c (tu peux aussi donner des valeurs particulières comme t=0 ou t=1)
par exemple t=0 te donne tout de suite c=3

mais la question n'est encore une fois pas de te le faire à ta place, mais si tu refuses de montrer tes calculs, ça en restera là.

mais après ... va savoir quelle méthode veut le prof (déja dit et redit)

on veut donc factoriser P(t) = t⁴ - 4t + 3 en P(t) = (t-1)²Q(t) = (t² - 2t + 1)Q(t)
où Q(t) est un polynome en t
le degré de Q(t) est 2, pour avoir du degré 4 en multipliant le terme de degré le plus élevé de t² - 2t + 1 par celui de degré le plus élevé de Q(t)

pour obtenir Q(t) il y a plusieurs méthodes, au choix et selon les connaissances.

soit effectuer une division euclidienne de polynomes : diviser P(t) par t² - 2t + 1
soit dire que Q(t) étant du second degré, il s'écrit at² + bt + c, et chercher a,b,c

ceci se fait en développant formellement (et réduisant) (t² - 2t + 1)(at² + bt + c)
puis en écrivant que cela doit être formellement égal à t⁴ - 4t + 3
donc que les coefficients de t⁴ sont les mêmes (= 1)
que ceux de t³ sont les mêmes (= 0)
que les coefficients de t² sont les mêmes (= 0)
que ceux de t sont les mêmes (= -4)
et que les termes constants sont les mêmes

les coefficients a et c sont immédiats (terme de degré 4 et terme constant)
il reste à trouver b ...
j'ai trois équations qui donneront b, (coefficients des termes en t³, t² et t) c'est deux de trop.
on choisit la plus simple
et on vérifie que avec cette valeur de b les deux autres sont satisfaites
(ceci est une preuve que le polynome se factorise effectivement par (x-1)², et aussi qu'on n'a pas fait d'erreur de calcul )


dernière méthode : on bidouille P(t) pour faire apparaitre des (t-1)² tant qu'on peut
(ceci revient en fait à refabriquer la division euclidienne)

ici on a en fait assez simplifié la chose en trouvant dès le départ que 1 est racine double (que on peut mettre (x-1)² en facteur)

si on ne l'avais pas vu (si on ne sait pas que une racine double est racine à la fois de P(t) et de la dérivée P'(t), ou si on n'y pense pas), on aurait tout de même remarqué immédiatement que 1 est racine (tout court)
donc que l'on peut factoriser en P(t) = (t-1)Q(t) avec Q(t) du troisième degré (même méthodes)
une fois ceci effectué, on remarque que 1 est racine de Q(t)
et on recommence en factorisant Q(t) par (t-1)

Bonsoir,





1 est racine évidente de     donc:



par identification on trouve b et c

salut



qui permet de ne pas connaitre une identité concernant les cubes ... mais la même avec des carrés ... apprises au collège ...

et le trinome   est un classique quand on pratique un peu le calcul mental ...