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résoudre l'équation

Posté par
sabaga 22-12-13 à 23:45

bonsoir pour tous
j'ai un exo.aide moi c.v.p

je voudrais calcul les valeurs x tel que:

x^{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}

merci pour tout

Posté par
Barneyre : résoudre l'équation 23-12-13 à 00:51

Bonsoir,

mets au carré les 2 côtés

Posté par
sabagare : résoudre l'équation 23-12-13 à 07:36


\begin{array}{l} \\ x^{x^{\frac{1}{2}} }  = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {x^{x^{\frac{1}{2}} } } \right)^2  = \frac{1}{4};x > 0 \\ \\   \Rightarrow x^x  = \frac{1}{4} \\ \\   \Rightarrow e^{x\ln x}  = e^{\ln \left( {\frac{1}{4}} \right)}  \\ \\   \Rightarrow x\ln x = \ln \frac{1}{4} \\ \\ on\;pose:f(x) = e^{x\ln x}  \\ \\ f'(x) = \left( {1 + \ln x} \right)e^{x\ln x}  \\ \\ \end{array}

f décroissante sur ]0;e^{ - 1}]
et  croissante sur [e^{ - 1}; + \infty]

f\left( {e^{ - 1} } \right) = e^{ - e^{ - 1} }  < \frac{1}{4}

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } f(x) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty

Posté par
sabagare : résoudre l'équation 23-12-13 à 07:42

donc l'équation \\ x^{x^{\frac{1}{2}} }  = \frac{1}{2} \\ \\ admit deux solution  sur ]0;+\infty[

Posté par
sabagare : résoudre l'équation 23-12-13 à 07:43

merci  :Barney

Posté par
ztokaybarep 23-12-13 à 23:25

Sabaga  tu as fais une erreur
quand tu eleves au carre cela multiplie le x1/2 par 2

Posté par
ztokaybarep 23-12-13 à 23:34

j ai trouve les solutions mais c est très difficile  à entrer
je n arrive pas taper avec les fonctions établies
voici les réponses  1/4 et 1/16.
j irai chercher quelqun qi sait taper avec les fonction etabli

Posté par
Barneyre : résoudre l'équation 24-12-13 à 01:18

sabaga,

tu remarqueras que ln(1/4)= -2ln2
et donc que xlnx= -2ln2 ne peut pas avoir de solution

pour cela , tu peux dériver et vérifier les variations de xlnx

Posté par
ztokaybarep 27-12-13 à 06:04

Barney
je ne trouve pas quelqu'un pour entrer mes démonstrations mais si tu es d'accord je te montrer mon travail en écrivant en lettres
j attends ta réponse

Posté par
alainpaulre : résoudre l'équation 27-12-13 à 09:45

Bonjour,


La pyramide x^{x^{\frac{1}{2}} n'est pas
une expression bien définie ?
x^{\sqrt{x}}  ou  (x^x)^{\frac{1}{2}} ,\sqrt{x^x}

??


Alain

Posté par
pierrecarrere : résoudre l'équation 27-12-13 à 11:23

Bonjour,

Il y a deux solutions : 1/4 et 1/16.

Bien cordialement,

\pi r^2

Posté par
ztokaybabonjour! voici mon travail 29-12-13 à 08:07

on a (xx)1/2=1/2
posons f(x)=(xx)1/2 -1/2 ,x]0;+[
résoudre l'équation donnée revient à déterminer les solutions de l'équation f(x)=0 sur ]0;+[
  
étude de f

x]0;+[,f(x)=(xx)1/2 -1/2
f(x)=EXP(x1/2lnx) -1/2
et f,(x)=(EXP(x1/2lnx) -1/2),
f,(x)=EXP(x1/2lnx).(lnx/2x1/2 + x1/2/x),x]0;+[

posons    f,(x)=0
lnx/2x1/2 + x1/2/x=0 , car EXP(x1/2lnx)>0  ,x]0;+[
1/x1/2(lnx/2 + 1)=0
  lnx/2 + 1=0  car 1/x1/20 , x]0;+[
lnx=-2
x=e-2
on aura  f,(x)<0,x]0; e-2[
et   f,(x)>0,x]e-2;+[

f est donc strictement décroissante sur ]0; e-2[
f est donc strictement croissante sur ]e-2;+[
f est bijective sur ]0; e-2[ et sur  ]e-2;+[

par ailleurs,limite f(x)=1/2 en 0 par valeurs supérieures
    f(e-2)-0,021  
et limite f(x)=+ quand x+
on remarque que 0]-0,021,1/2[  et  0]-0,021;+[
donc l'équation f(x)=0 admet deux solutions et   telles que
]0; e-2[ et ]e-2;+[

TU PEUX DETERMINER ET PAR LA METHODE DE BALAYAGE  TU AURAS  =1/16  et =1/4

conclusion

les solutions de l'equation (xx)1/2=1/2 sont 1/16 et 1/4


ouf!!!

    


Posté par
alainpaulre : résoudre l'équation 29-12-13 à 09:02

Bon dimanche,


L'expression telle que tu l'as écrite
(x^x)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}

possède une solution complexe exprimée par la fonction LambertW
-\frac{ln(4)}{LambertW(ln(4))}
soit 0,0535..+0,913 i ,



Amicalement,

Alain

Posté par
ztokaybarep a alain 30-12-13 à 03:06

slt

la resolution etait dans et non dans

Posté par
Barneyre : résoudre l'équation 30-12-13 à 04:08

mdr ! pas en France

bonnes fêtes !

Posté par
alainpaulre : résoudre l'équation 30-12-13 à 12:31

Bonjour,


Ne mélangeons pas les termes!

La résolution concerne le travail sur l'énoncé,
les solutions ,les réponses que l'on donne ,
celles-ci sont le plus souvent attendues dans un
domaine précis :complexe,réel,entiers, intervalle [a,b]...


La signification doit être claire,sans ambiguîté ,
les piles seront donc exprimées avec des parenthèses:
(x^x)^{\frac{1}{2}} \neq x^{(x^ \frac{1}{2})}=x^{\sqrt{x}}



Alain

Posté par
ztokaybarep 09-01-14 à 22:56

merci alainpaul c est juste que je n arrivais pas entrer la fontion


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