Bonjour,

Comment résoudre l'équation trigonométrique sin(x-a) = sin(x)-sin(a), avec a un paramètre non nul, en utilisant les formules sur les sinus et cosinus et sans utiliser la propriété de monotonie de la fonction sinus (cf. ci-dessous) ?

En effet, on peut développer le 1er membre sin(x-a) en sin(x)cos(a)-sin(a)cos(x).
Ce qui donne :
        sin(x)cos(a)-sin(a)cos(x) = sin(x)-sin(a)
<->sin(x)/(1-cos(x)) = sin(a)/(1-cos(a))
Comme la fonction sinus est monotone sur [0;2pi], les solutions sont (2*k*pi) ou (a + 2*k*pi) (k appartient à Z).

Cependant, j'aimerais finir de résoudre cette équation à partir d'un raisonnement du style :

        sin(x-a) = sin(x) - sin(a)
<-> sin(2*(x-a)/2) = 2*cos((x+a)/2)*sin((x-a)/2) (formule de Simpson sur le membre de droite)
<-> 2*sin((x-a)/2)*cos((x-a)/2) = 2*cos((x+a)/2)*sin((x-a)/2)  (formule de multiplication sur le membre de gauche)
Donc, je bloque ici. J'aimerais faire apparaitre par exemple quelque chose du genre sin(A)*cos(B) = sin(B)*cos(A). On aurait ainsi tan(A)=tan(B), mais peut-être y-a-t-il d'autres pistes plus intéressantes !

Comment feriez-vous ?

Tom