Bonjour
ce n'est certainement pas l'énoncé exact....
certainement tout dans un seul membre et étude de fonction

Bonjour,

oui, x=0, pas d'autre solution,   mais voir demande de malou

Merci ! J'ai résolu l'équation en trouvant une seule solution : 0.
Un autre question : comment prouver les variations de e^x-1.
Dans ce dm, je dois trouver le nombre de points d'intersection en fonction de m entre e^x et D(m)=x+m.

En dérivant la fonction f(x) = e^x - x - 1, on obtient f'(x) = e^x - 1. On fait un tableau de signes de la dérivée, puis un tableau de variation de la fonction. Par lecture graphique, on s'aperçoit que f'(x)=0 pour une seule abscisse : 0.

Mon exercice :
On considère la courbe C d'équation y=e^x représentée ci-contre. Pour tout réel m strictement positif, on considère les droites D(m) d'équation y=x+m.

1/ Montrer que la tangente à C au point d'abscisse 0 est D(1) => c'est fait (avec la formule de la tangente)
2/ Conjecturer selon les valeurs prises par m, le nombre de points d'intersection entre la courbe C et la droite D(m).
=> si m < 1, il n'y a pas de point d'intersection
=> si m = 1, il n'y en a qu'un
=> si m> 1, il y'en a deux
(avec Geogebra)

3/ Démontrer cette conjecture.
Donc j'étudie les variations de f(x) = e^x - x - m (qui vient de l'équation e^x = x + m)
f'(x) = e^x - 1 :

x      -oo                                                                              0                                                                                  +oo
f'(x)                                        -                                           0                                     +
f(x)                  décroissant                                   extremum                     croissant


Comme la dérivée ne dépend pas de m, les variations de f(x) sont toutes les mêmes quel que soit m.
Seul l'extremum de la courbe change : il est égal à e^0 - 0 - m, soit 1 - m.
On fait une étude de signe de 1 - m :
> si 1-m>0, il y'a 0 solution
> si 1 - m = 0, il y'a 1 solution
> si 1-m<0, il y'a deux solutions.

Normalement c'est bon, mais je ne sais pas comment prouver le signe de f'(x).
Merci de votre aide.

Les deux premières inégalités me semblent assez faciles à analyser.
La troisième me semble requérir le théorème de la bijection (même si c'est évident)

Le début est bien mais attention quelque chose ne va pas.

Donc si m>1, alors 1-m<0
si m=1 , alors 1-m = 0
si 0<m<1, alors 1-m>0

Donc lorsque 1-m>0, pas de solution. OK
Lorsque 1-m = 0, une solution OK

Par contre pour 1-m<0, comment peux-tu être sur qu'elle admet 2 solutions ? (faire attention aux limites en - et +, pense au TVI également..)

Et pour le signe de e^x-1:

On résout e^x - 1 0
e^x1
e^xe⁰
x0

Tu fais ça par équivalence et tu obtiens le signe..

Je me suis rendu compte un peu après avoir posté mon (long) message que je n'avais pas pensé au TVI.

Pour le signe de e^x - 1, merci !