Salut,

Tu as deja montre que (z'-p)=-(z''-p).
De plus (z-z')(z-z")=z²-2pz+1. En prenant z=p, il vient:
(p-z')(p-z")=p²-2p²+1=-p²+1
On en déduit que
(z'-p)²= p²-1;
ce qui devrait t'aider pour conclure.
A+
dadou

z² - 2 p z + 1 = 0

z' = p - (p²-1)^(1/2)
z'' = p + (p²-1)^(1/2)

z'- p = - (p²-1)^(1/2)
z'' - p  = (p²-1)^(1/2)

|z'-p| = |z''-p| = |(p²-1)^(1/2)|
|z'-p|² = |z''-p|² = |(p²-1)|
|z'-p|² = |z''-p|² = |(p²-1)|

|z'-p|² = |z''-p|² = |(sin(a)+icos(a))²-1)|
|z'-p|² = |z''-p|² = |(sin²(a)-cos²(a)+2i.sin(a).cos(a)-1)|
|z'-p|² = |z''-p|² = |(sin²(a)-cos²(a)+2i.sin(a).cos(a)-cos²(a)-sin²(a))|
|z'-p|² = |z''-p|² = |-2cos²(a)+2i.sin(a).cos(a)|
|z'-p|² = |z''-p|² = |-1-cos(2a)+i.sin(2a)|

|z'-p|² = |z''-p|² = V[(1+cos(2a))²+sin²(2a)]
|z'-p|² = |z''-p|² = V[(1+cos²(2a)+2cos(2a)+sin²(2a)]
|z'-p|² = |z''-p|² = V[2+2cos(2a)] = V2 .V(1+cos(2a))
|z'-p|² = |z''-p|² = V[2+2cos(2a)] = V2 .V(2cos²(a))
|z'-p|² = |z''-p|² = 2.|cos(a)|

|z'-p| = |z''-p| = V[2.|cos(a)|]
-----
p²-1 = -1-cos(2a)+i.sin(2a)

Avec Phi un argument de p² - 1
tg(phi) = sin(2a)/(-(1+cos(2a))
tg(phi) = -tg(a)

phi = -a  ou phi = Pi-a

arg[(p²-1)^(1/2)] = -a/2 ou (-a/2)+(Pi/2)

...
-----

Sauf distraction.  

bonjour,
z^2-2pz+1=(z-p)^2 +1-p^2 ; comme en réel
soit (z-p)^2=p^2-1 ;
le problème consiste à calculer les racines de p^2-1
on factorise:
p=cosa +i sin a => |p|=1, arg(p)=a
=> |p^2|=1  arg(p^2) = 2a => p^2=cos(2a)+i.sin(2a)
=> p^2-1=cos(2a)-1+i.sin(2a)= -2sin(a)^2+2isin(a).cos(a)
=> p^2-1=2i.sin(a)(cos(a)+isin(a))
pour le module on sait que:
| z-p |= | p^2-1|^(1/2)
=|2i sin(a)|^(1/2).|cos(a)+isin(a)|^(1/2)
=|2 sin(a)|^(1/2)

pour l'argument :
arg(z-p)=1/2 arg(p^2-1) + k.pi k=0 pour z', k=1 pour z"
=(1/2)(arg(i)+arg(sin(a))+(1/2)arg(cos(a)+isin(a))+k.pi
=(1/2)(sign(sin(a)).pi/2) +a/2 +k.pi
En résumé
| z'-p|=|z"-p|=|2 sin(a)|^(1/2)
arg(z'-p)=(1/2)(sign(sin(a)).pi/2 +a/2
arg(z"-p)=(1/2)(sign(sin(a)).pi/2 +a/2+pi

bon courage

moi j'ai fait une étourderie , la solution de JP est la bonne .

Résoudre une équation du second degré dans
----------------------------------------------------
le corps des nombres complexes
------------------------------------

Soit l'équation dans C définie par :

Z^2 - 2 p z + 1 = 0

où p = sin a + i cos a

On appelle z' et z'' ses racines.

Question 1
----------

Trouver le module et l'argument de :

z' - p et de z'' - p

**********************************
Bonjour


J'en conclus que le module commun de z' - p et z" - p est V(2 | cos a|) avec la notation V( ) pour la fonction racine carrée;
et leurs arguments (pi-a)/2 et (3pi -a)/2
dans cet ordre où dans l'ordre inversé selon le cas (c.à d. le signe de |cos a|).

Question 2
------------
Si cos a < 0
a)montrer que z'+i et z"+i ont même module
b) montrer que z'-i et z"-i ont même argument
c) donner une interprétation géométrique.

Question 3
------------
Que se passe-t-il pour cos a>0 ?

*************************************
Euh! ....
J'avoue que mes calculs ne mènent à rien. (!)
Aidez-moi encore svp
Je dois faire appel à une aide aimable.

Et je vous remercie d'avance pour avoir cherché mon sujet.

A bientôt.

M.F.  



*** message déplacé ***

A lire, d'autant plus que tu as déjà eu de l'aide

extrait de la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Pour de nombreuses raisons.

Pour mémoire, le multi-post consiste à reposer une même question dans un sujet différent , ou à poser des questions successives d'un même problème dans des sujets différents.

De même, une demande identique sur plusieurs sites sera considérée comme un multipost et la discussion pourra être fermée par un modérateur.

Etant donné tous les désagréments créés par le multi-post, le non-respect de cette règle entraînera votre exclusion temporaire ou définitive du forum !

Voici maintenant quelques raisons qui font que nous combattons avec autant d'ardeur le multi-post (et ses adeptes ) :

• La perte de temps pour les modérateurs qui consacrent leur temps bénévolement pour garantir la qualité des sujets et des échanges sur le forum.
• Le respect du travail des correcteurs qui consacrent leur temps bénévolement pour aider ceux qui sollicitent de l'aide.
• La lisibilité du forum de manière à ce qu'un sujet ayant déjà reçu de l'aide soit facilement identifié et qu'un sujet n'en ayant pas encore reçu puisse à son tour en recevoir.

Rappelez-vous une nouvelle fois la règle d'or du forum :
1 sujet créé = 1 problème