Tu as pourtant donné la réponse ! Mais tu as un peu désordonné les termes.

Ne remarques-tu pas que tu as systématiquement les restes composent une suite cyclique ?

Je m'explique
n=0 -> reste = 1
n=1 -> reste = 2
n=2 -> reste = 4
n=3 -> reste = 3

n=4 -> reste = 1
n=5 -> reste = 2
n=6 -> reste = 4
n=7 -> reste = 3

et ainsi de suite !

Il faut donner une réponse générale aussi mais là je ne voit pas de critère

dans les exercices corrigés ils mettent des réponses  (que je ne comprend pas d'ou ils sortent tout ça) du type
"si n=2p alors 2^2p=4^p or 4≡1(3), d'ou 4^p≡1^p(3) , presque le même 'blabla' pour si n=2p+1" donc pair/impair  c'est pour trouver les restes de la division de 2^n par 3

Petite question : je pose

Sommes nous d'accord sur :
si alors
si alors
si alors
si alors

Et la forme générale est trouvée.

Pourquoi "4k" ?

Par exemple le reste est 2 quand n= 1 et n=5

"si n=4k+1 alors 2^n[5]=2 "
4*0+1=1 - 4*1+1=5 mais ou est le rapport avec reste 2 ici?

Pourquoi 4k ? Tout simplement parce que les modulos tournent par série de 4 valeurs, comment nous l'avons vu. Regarde bien ton premier poste, à chaque multiple de 4 (0, 4, 8, ...), le modulo vaut 1.

A chaque multiple de 4 auquel on ajoute 1 (1, 5, 9, ...), le modulo vaut 2.

A chaque multiple de 4 auquel on ajoute 2 (2, 6, 10, ...), le modulo vaut 4.

Enfin, à chaque multiple de 4 auquel on ajoute 3 (3, 7, 11, ...), le modulo vaut 3.

La forme 4k, pour k entier, m'assure que c'est un multiple de 4. Tout simplement.

Ouah , Merci beaucoup ça me semble clair maintenant

De rien. Telle est ma dernière intervention sur ce site, je me retire définitivement.

Ravi de t'avoir aidé(e).