1)
La fonction f(x) a une période de 2.

On deduit la courbe representative de la restriction de f sur l’intervalle
[2n; 2n+2[ par simple décalage de la courbe de f sur l'intervalle
[0 ; 2].
Ce décalage se fait parallèlement à l'axe des abscisses d'une
quantité = 2n.

il suffit  donc détudier f sur [0 ; 2[ pour pouvoir représenter f pour
tout x de R.

fo = f(x) = x²(2-x) pour x dans [0 ; 2[
f(x) =x²(2-x)
f(x) = 2x² - x³
f '(x) = 4x - 3x²
f '(x) = x(4 - 3x)

f '(x) > 0 pour x dans [0 ; 4/3[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = 4/3
f '(x) < 0 pour x dans ]4/3 ; 2[ -> f(x) est décroissante.
Il y a un maximum de f(x) pour x = 4/3, ce max vaut f(4/3) = (16/9).(2
- (4/3)) = 32/27.

f ''(x) = 4 - 6x = 2(2 - 3x)
f ''(x) > 0 pour x dans [0 ; 2/3[ -> la concavité de la courbe
représentant f(x) est tournée vars les y positifs.
f ''(x) = 0 pour x = 2/3
f ''(x) < 0 pour x dans ]2/3 ; 2[ -> la concavité de la courbe
représentant f(x) est tournée vars les y négatifs.
Il y a un point d'inflexion dans la courbe représentant f(x) pour
x = 2/3.

f(0) = 0
lim(x-> +2-) f(x) = 0.

Ce qui précède permet de tracer fo (on peut aussi calculer quelques
points de plus de fo pour augmenter la précision du dessin).
par exemple f(0,5) = 0,25*(1,5) = 3/8.
fo passe par le point (1/2 ; 3/8)
...
-------------
2)
f(x) = f(x+2)
f(x) = x^2(2-x)

La périodicité de 2 amème f(x) = f(x + 2k) avec k dans Z
En choisissant k = -n  avec n dans Z, on a:
f(x) = f(x - 2n) = (x-2n)²(2-(x-2n))
f(x) = (x-2n)².(2n+2-x)
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3)
f(x) est continue sur R.
f(0) = 0
lim(x-> +2-) f(x) = 0.
comme la valeur de f(x) est la même aux 2 extrémités d'une période,
et que f(x) est continue sur une période, f(x) est continue sur R.

f(x) n'est pas dérivable sur R.
pour x dans [0 ; 2[
f '(x) = x(4 - 3x)
f '(0) = 0
lim(x-> +2-) f'(x) = 2(4-6)= -4

Alors que pour pour x dans [2 ; 4[
f '(2) = f '(0) = 0.

Donc la dérivée est discontinue pour x = 2n avec n dans Z.
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Sauf distraction.