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Niveau énigmes
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Rétablir l'équilibre

Posté par
Imod
11-06-22 à 12:20

Bonjour à tous

On propose ici beaucoup d'exercices de probabilités . Je ne suis pas fan du genre mais j'aime bien ceux qui ouvrent quelques perspectives , en voici un plutôt amusant .

On utilise une pièce pipée dont on connait parfaitement le défaut ( la probabilité de tomber d'un côté ou de l'autre ) . On suppose que le déséquilibre n'est pas exacerbé , comment utiliser cette pièce dans un jeu de pile ou face parfaitement équilibré et facile à réaliser ?

Le jeu n'est pas guerrier , il devrait donc pouvoir distraire tout le monde

Imod

PS : on blanke

Posté par
verdurin
re : Rétablir l'équilibre 11-06-22 à 14:16

Salut,
une tentative.

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Posté par
ty59847
re : Rétablir l'équilibre 11-06-22 à 14:27

Comme Verdurin.

Posté par
Imod
re : Rétablir l'équilibre 11-06-22 à 17:59

Bravo à tous les deux

Problème inverse : on a une pièce équilibrée et on fait un jeu de pile ou face avec une probabilité 0<P<1 donnée pour l'un des joueurs .

Imod

Posté par
verdurin
re : Rétablir l'équilibre 11-06-22 à 22:41

Je crois qu'il manque quelque chose à ma réponse précédente.
C'est une solution avec rejet de certains résultats.
On peut assez facilement calculer l'espérance du nombre de lancers de la pièce en fonction de la proba p de pile.
Il reste à montrer que cette solution est optimale au sens d'une espérance minimale sauf pour un ensemble de mesure nulle de valeurs de p.

Pour le problème inverse c'est impossible sauf pour un ensemble de mesure nulle de valeurs de p.
Qui est beaucoup plus facile à déterminer que le précédent.

Posté par
Imod
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 00:19

La méthode exposée plus haut fonctionne sans connaitre P ce qui est un avantage énorme quand on ignore tout de la pièce utilisée . On peut bien sûr limiter le nombre de lancers quand on connait P et pour cela la deuxième question a son utilité .

Le problème inverse fonctionne très bien dans tous les cas avec par exemple des probabilités aussi tordues que P=\pi-3

Imod

Posté par
GBZM
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 08:20

À une suite  (\epsilon_n)_{n\geq1} d'éléments de \{0,1\} on associe le réel \sum_{n\geq 1}2^{-n}\epsilon_n.
On déclare le joueur A gagnant si ce réel est < P, sinon c'est B qui est gagnant.
Exercice : quelle est l'espérance du nombre de tirages à faire pour trouver le gagnant ?

Posté par
GBZM
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 10:31

On peut revenir au premier problème : une pièce déséquilibrée avec probabilité p de tirer Pile.
Aline et Blaise ont mal compris la solution de verdurin : ils tirent à Pile ou Face jusqu'à avoir successivement PF (Aline gagne) ou FP (Blaise gagne).
Quelle est la probabilité qu'Aline gagne ?

Posté par
Imod
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 11:21

Sauf erreur on retrouve les probabilités p et 1-p .

Imod

Posté par
Imod
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 12:27

Un petit arbre :

Rétablir l\'équilibre
Imod

Posté par
ty59847
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 12:39

Oui, le premier tirage détermine à lui seul le résultat. Donc on retombe sur p et 1-p.

Je reviens à la question : avec une pièce équilibrée, on veut une stratégie qui donnera une proba p fixée. Par exemple 0.1
On fixe par exemple 10 lancers. On a 1024 résultats possibles, on choisit 102 combinaisons ... et si on a une de ces 102 combinaisons, c'est A qui gagne, et sinon c'est B.
On a un résultat qui est proche de 10% pour A et 90% pour B. En l'occurrence, 9 lancers auraient donné la même chose, parce que 102/1024 ou  51/512, c'est pareil.
Mais si on veut une proba strictement égale à 10%, il faudrait une infinité de lancers.

Posté par
GBZM
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 12:45

Citation :
Mais si on veut une proba strictement égale à 10%, il faudrait une infinité de lancers.

Non il ne faudra pas. Presque sûrement un nombre fini de lancers suffit. Et même, l'espérance du nombre de lancers nécessaires  n'est pas si élevée que ça. Je répète ma question (voir ci-dessus) : quelle est cette espérance ?

Posté par
ty59847
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 14:03

10% n'était pas le meilleur exemple. Je fais 4 lancers, 16 résultats possibles, et équiprobables. Si on trouve le résultat 1, A gagne, si on trouve le n° entre 2 et 10, B gagne, et si on trouve un des 6 autres, on recommence.
Ok.
Mais si on veut une proba 1/sqrt{2} par exemple ... ou \pi-3 ?
On est bien d'accord que quelque soit la règle choisie par les 2 joueurs, on aura une proba proche de la proba visée, aussi proche que l'on veut, mais ça restera une valeur approchée.
C'est une question.

Posté par
GBZM
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 14:21

J'ai l'impression que tu n'as pas lu mon message de 8:20. Me trompé-je ?

Posté par
carpediem
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 14:41

salut

je pense que si p € [0, 1[ alors p = \sum_{n \ge 1} c_n 2^{-n} est l'écriture binaire de p

pour distinguer p et P il faut les n tirages pour lesquelles p et P ont les mêmes n premières "décimales binaires" + 1 qui permet de distinguer les deux cas p < P ou p > P à la n+ 1-ième décimale ...

je pense que l'espérance est donc E = \sum_1 k 2^{-k} ce qui devrait faire 2 ce me semble-t-il ...

Posté par
verdurin
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 17:44

Je résonne comme un tambour.

Posté par
Imod
re : Rétablir l'équilibre 12-06-22 à 18:52

Ce problème est très déstabilisant , c'est tout son intérêt

On peut utiliser la même méthode pour générer à peu de frais un événement de probabilité Q à partir d'une pièce proposant pile avec une probabilité P . Il suffit de faire une liste des premières valeurs attendues et de choisir A ou B dès qu'on s'écarte de cette liste d'un côté ou de l'autre .

Imod



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