Bonjour à tous
On propose ici beaucoup d'exercices de probabilités . Je ne suis pas fan du genre mais j'aime bien ceux qui ouvrent quelques perspectives , en voici un plutôt amusant .
On utilise une pièce pipée dont on connait parfaitement le défaut ( la probabilité de tomber d'un côté ou de l'autre ) . On suppose que le déséquilibre n'est pas exacerbé , comment utiliser cette pièce dans un jeu de pile ou face parfaitement équilibré et facile à réaliser ?
Le jeu n'est pas guerrier , il devrait donc pouvoir distraire tout le monde
Imod
PS : on blanke
Bravo à tous les deux
Problème inverse : on a une pièce équilibrée et on fait un jeu de pile ou face avec une probabilité 0<P<1 donnée pour l'un des joueurs .
Imod
Je crois qu'il manque quelque chose à ma réponse précédente.
C'est une solution avec rejet de certains résultats.
On peut assez facilement calculer l'espérance du nombre de lancers de la pièce en fonction de la proba p de pile.
Il reste à montrer que cette solution est optimale au sens d'une espérance minimale sauf pour un ensemble de mesure nulle de valeurs de p.
Pour le problème inverse c'est impossible sauf pour un ensemble de mesure nulle de valeurs de p.
Qui est beaucoup plus facile à déterminer que le précédent.
La méthode exposée plus haut fonctionne sans connaitre P ce qui est un avantage énorme quand on ignore tout de la pièce utilisée . On peut bien sûr limiter le nombre de lancers quand on connait P et pour cela la deuxième question a son utilité .
Le problème inverse fonctionne très bien dans tous les cas avec par exemple des probabilités aussi tordues que
Imod
À une suite d'éléments de on associe le réel .
On déclare le joueur A gagnant si ce réel est , sinon c'est B qui est gagnant.
Exercice : quelle est l'espérance du nombre de tirages à faire pour trouver le gagnant ?
On peut revenir au premier problème : une pièce déséquilibrée avec probabilité p de tirer Pile.
Aline et Blaise ont mal compris la solution de verdurin : ils tirent à Pile ou Face jusqu'à avoir successivement PF (Aline gagne) ou FP (Blaise gagne).
Quelle est la probabilité qu'Aline gagne ?
Oui, le premier tirage détermine à lui seul le résultat. Donc on retombe sur p et 1-p.
Je reviens à la question : avec une pièce équilibrée, on veut une stratégie qui donnera une proba p fixée. Par exemple 0.1
On fixe par exemple 10 lancers. On a 1024 résultats possibles, on choisit 102 combinaisons ... et si on a une de ces 102 combinaisons, c'est A qui gagne, et sinon c'est B.
On a un résultat qui est proche de 10% pour A et 90% pour B. En l'occurrence, 9 lancers auraient donné la même chose, parce que 102/1024 ou 51/512, c'est pareil.
Mais si on veut une proba strictement égale à 10%, il faudrait une infinité de lancers.
10% n'était pas le meilleur exemple. Je fais 4 lancers, 16 résultats possibles, et équiprobables. Si on trouve le résultat 1, A gagne, si on trouve le n° entre 2 et 10, B gagne, et si on trouve un des 6 autres, on recommence.
Ok.
Mais si on veut une proba par exemple ... ou ?
On est bien d'accord que quelque soit la règle choisie par les 2 joueurs, on aura une proba proche de la proba visée, aussi proche que l'on veut, mais ça restera une valeur approchée.
C'est une question.
salut
je pense que si p € [0, 1[ alors est l'écriture binaire de p
pour distinguer p et P il faut les n tirages pour lesquelles p et P ont les mêmes n premières "décimales binaires" + 1 qui permet de distinguer les deux cas p < P ou p > P à la n+ 1-ième décimale ...
je pense que l'espérance est donc ce qui devrait faire 2 ce me semble-t-il ...
Ce problème est très déstabilisant , c'est tout son intérêt
On peut utiliser la même méthode pour générer à peu de frais un événement de probabilité Q à partir d'une pièce proposant pile avec une probabilité P . Il suffit de faire une liste des premières valeurs attendues et de choisir A ou B dès qu'on s'écarte de cette liste d'un côté ou de l'autre .
Imod
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