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retour sur un poynôme lacunaire

Posté par
interpol
08-03-18 à 11:31

Bonjour,

Je pense ici au polynôme p(x)=x^{400}-7x^{201}-4x^{101}+1

Comment le fait que p(x) possède au plus 6 racines réelles  as-t'il été démontré?

Merci,

Alain

Posté par
jsvdb
re : retour sur un poynôme lacunaire 08-03-18 à 11:55

Bonjour interpol.
Un polynôme peut en cacher un autre !

Posté par
jsvdb
re : retour sur un poynôme lacunaire 08-03-18 à 12:18

En général, le nombre de racines du polynôme dérivé donne de précieuses indications quant au nombre de racines du polynôme que l'on a dérivé.

Posté par
bbomaths
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 06:21

Bonjour.

Certainement par l'utilisation de la règle des signes de Descartes...

Posté par
Sylvieg
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 07:19

Bonjour,
Si j'ai bien compris cette règle, elle permet d'affirmer que p(x) possède au plus  2  racines réelles.
C'est ce que j'avais obtenu en dérivant. Pourquoi ce  6  alors ?  

Je ne connaissais pas cette règle. On peut en déduire qu'un polynôme possède moins de  racines réelles que de coefficients non nuls ?

Posté par
bbomaths
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 07:24

On peut compléter, sauf erreur de ma part, il y a 0 ou 2 racines positives, 0 racine négative

Comme P(0) = 1 et P(1) = -9, il y a au moins une racine x1 entre 0 et 1.

Reste à trouver la seconde racine...

Posté par
bbomaths
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 07:39

et x2 = x1

Posté par
Sylvieg
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 08:06

Il y a une racine entre  1,0106  et  1,0107  

Posté par
bbomaths
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 08:06

@ Sylvieg, bonjour.

De mémoire, je crois que de son temps Lagrange avait sorti un "papier" sur cette règle.

Posté par
bbomaths
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 08:07

Flûte...

Posté par
Sylvieg
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 08:13

J'ai travaillé hier sur ce polynôme, sans poster mes résultats car je pensais faire une erreur en trouvant  2  racines ...

Posté par
bbomaths
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 08:17

On dira que c'est la faute aux infirmières (très sympathiques du reste) qui sont en cours de "médicamentalisage" des patients et, aux cantinières qui apportent et remportent les petits-dej...  C'est perturbant

Posté par
bbomaths
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 08:29

Un peu de lecture sur le sujet :

Posté par
Sylvieg
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 08:35

Merci  

Posté par
Sylvieg
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 08:53

Je n'ai pas le temps de regarder maintenant cette littérature qui semble passionnante.
Histoire de te distraire, je poste des éléments de ma "méthode" dans ce cas particulier :

P'(x)  =   x100 ( 400 x299 - 7201 x100 - 404 )  

Q(x)  =   400 x299 - 1407 x100 - 404         Q'(x)  =  100 x99 ( 4299 x199 -1407 )

Utiliser   \alpha = \sqrt[{199}]{\frac{1407}{1196}}

A partir de là, je trouve 2 racines dont l'une est supérieure à   .

Bonne occupation pendant ta convalescence  

Une dernière remarque à partir de ton  P(1) < 0  :  Comme les limites à l'infini sont  +, on en déduit au moins une racine de chaque côté de  1 .

Posté par
lake
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 10:33

Bonjour,

  

Citation :
Il y a une racine entre  1,0106  et  1,0107


L'autre est entre 0.9835 et 0.9836

Posté par
bbomaths
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 16:00

Vu que les 2 racines sont proches, quelle "tête" peut avoir la courbe relative au polynôme p(x) ?

Posté par
Sylvieg
re : retour sur un poynôme lacunaire 09-03-18 à 16:46

Une fenêtre avec  x de 0,98 à 1,014  et  y de -20 à 3  permet de se faire une idée de ce qui se passe entre les 2 racines.

Sinon entre  -1 et  0.9835 ,  la courbe est presque horizontale.
A l'extérieur de  -1 et 1 , attention au vertige !

Posté par
interpol
re : retour sur un poynôme lacunaire 10-03-18 à 09:44

Bonjour,

En résumé, pour le moment,nous avons une racine   entre 0 et 1 ;une autre > .


Alain

Posté par
Sylvieg
re : retour sur un poynôme lacunaire 10-03-18 à 10:03

Bonjour,
Plus précis :

Citation :
Citation :
Il y a une racine entre  1,0106  et  1,0107

L'autre est entre 0.9835 et 0.9836

Et ce sont les seules.

Posté par
interpol
re : retour sur un poynôme lacunaire 11-03-18 à 11:48

Bon dimanche,

Devons-nous considérer la preuve comme de nature graphique.

Pourquoi était-il fait référence à un maximum de 6 racines réelles?

Alain

Posté par
Sylvieg
re : retour sur un poynôme lacunaire 11-03-18 à 14:59

Bonjour interpol,
Non, la preuve repose sur un théorème des valeurs intermédiaires.
Pour ce qui est de l'énoncé avec  6 , je ne connais pas sa provenance.

Posté par
interpol
re : retour sur un poynôme lacunaire 13-03-18 à 12:07

Bonjour,

Nous avons 2 racines  connues \alpha,\beta

Les polynômes \frac{p(x)}{(x-\alpha)} , \frac{p(x)}{(x-\beta)}
sont-ils à coefficients réels?

Alain

Posté par
jsvdb
re : retour sur un poynôme lacunaire 13-03-18 à 13:09

Bonjour interpol.
Où les coefficients pourraient-ils être autrement ?

Posté par
interpol
re : retour sur un poynôme lacunaire 13-03-18 à 16:40

Oui,

Un moment d'inattention.

Une remarque:
ici l'existence d'une racine   correspond à un polynôme impair

\frac{p(x)}{x-\alpha} et à coeefficients réels ,donc une seconde racine.

Alain

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