Bonjour interpol.
Un polynôme peut en cacher un autre !

En général, le nombre de racines du polynôme dérivé donne de précieuses indications quant au nombre de racines du polynôme que l'on a dérivé.

Bonjour.

Certainement par l'utilisation de la règle des signes de Descartes...

Bonjour,
Si j'ai bien compris cette règle, elle permet d'affirmer que p(x) possède au plus 2 racines réelles.
C'est ce que j'avais obtenu en dérivant. Pourquoi ce 6 alors ?

Je ne connaissais pas cette règle. On peut en déduire qu'un polynôme possède moins de racines réelles que de coefficients non nuls ?

On peut compléter, sauf erreur de ma part, il y a 0 ou 2 racines positives, 0 racine négative

Comme P(0) = 1 et P(1) = -9, il y a au moins une racine x₁ entre 0 et 1.

Reste à trouver la seconde racine...

et x₂ = x₁

Il y a une racine entre 1,0106 et 1,0107

@ Sylvieg, bonjour.

De mémoire, je crois que de son temps Lagrange avait sorti un "papier" sur cette règle.

Flûte...

J'ai travaillé hier sur ce polynôme, sans poster mes résultats car je pensais faire une erreur en trouvant 2 racines ...

On dira que c'est la faute aux infirmières (très sympathiques du reste) qui sont en cours de "médicamentalisage" des patients et, aux cantinières qui apportent et remportent les petits-dej...  C'est perturbant

Un peu de lecture sur le sujet :

Merci

Je n'ai pas le temps de regarder maintenant cette littérature qui semble passionnante.
Histoire de te distraire, je poste des éléments de ma "méthode" dans ce cas particulier :

P'(x) = x¹⁰⁰ ( 400 x²⁹⁹ - 7201 x¹⁰⁰ - 404 )

Q(x) = 400 x²⁹⁹ - 1407 x¹⁰⁰ - 404 Q'(x) = 100 x⁹⁹ ( 4299 x¹⁹⁹ -1407 )

Utiliser

A partir de là, je trouve 2 racines dont l'une est supérieure à .

Bonne occupation pendant ta convalescence

Une dernière remarque à partir de ton P(1) < 0 : Comme les limites à l'infini sont +, on en déduit au moins une racine de chaque côté de 1 .

Bonjour,

  

Vu que les 2 racines sont proches, quelle "tête" peut avoir la courbe relative au polynôme p(x) ?

Une fenêtre avec x de 0,98 à 1,014 et y de -20 à 3 permet de se faire une idée de ce qui se passe entre les 2 racines.

Sinon entre -1 et 0.9835 , la courbe est presque horizontale.
A l'extérieur de -1 et 1 , attention au vertige !

Bonjour,

En résumé, pour le moment,nous avons une racine   entre 0 et 1 ;une autre > .


Alain

Bonjour,
Plus précis :

Bon dimanche,

Devons-nous considérer la preuve comme de nature graphique.

Pourquoi était-il fait référence à un maximum de 6 racines réelles?

Alain

Bonjour interpol,
Non, la preuve repose sur un théorème des valeurs intermédiaires.
Pour ce qui est de l'énoncé avec 6 , je ne connais pas sa provenance.

Bonjour,

Nous avons 2 racines  connues

Les polynômes
sont-ils à coefficients réels?

Alain

Bonjour interpol.
Où les coefficients pourraient-ils être autrement ?

Oui,

Un moment d'inattention.

Une remarque:
ici l'existence d'une racine   correspond à un polynôme impair

et à coeefficients réels ,donc une seconde racine.

Alain