Niveau Reprise d'études-Ter

Retrouver un nombre complexes

Posté par
F23saskia 07-12-21 à 23:48

Bonjour, je dois retrouver le nombre complexe z en sachant qu?il doit appartenir à l?ensemble des réels donc la partie imaginaire nulle.
Arrivé pour poser un système mais j?ai deux inconnues pour une seule équation, comment retrouver a et b?

Retrouver un nombre complexes

_{* Modération > Image exceptionnellement tolérée. Merci d'utiliser désormais les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques. *}

Posté par re : Retrouver un nombre complexes 08-12-21 à 02:52

Bonjour, quel est l'énoncé ?

Posté par re : Retrouver un nombre complexes 08-12-21 à 15:29

salut

il serait bien de réduire la dernière égalité : 20a + 5a = ... ?

je t'invite à développer (5a + 3)(b - 5) ...

Posté par re : Retrouver un nombre complexes 08-12-21 à 15:41

Bonjour,

J'ai fait le calcul d'une autre façon (j'ai écrit que $Z=\bar Z$ ) et je n'obtiens pas cette relation entre a et b.

A vérifier...

Posté par re : Retrouver un nombre complexes 20-12-21 à 19:24

Bonjour

Votre idée de départ est la bonne.

Toutefois, il aurait été plus judicieux de d'abord multiplier le numérateur  et le dénominateur par le conjugué du dénominateur

sous la forme $\overline{5z-3}=5$\overline{z}-3$

avec $\overline{z}$ le conjugué de $z$

car pour tous nombres complexes $z_1$ et $z_2$ , on a

$\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$

et

$\overline{z_1*z_2}= \overline{z_1} * \overline{z_2}$ .

Ainsi remplacer z par a+ib à la fin du calcul vous aurait permis de gagner un peu de temps si cela avait été en situation d'examen.

Ensuite, il y a un problème assez subtil au niveau de la rédaction(un problème de $\iff$ et la flèche  ).

Soit vous devez écrire

$\frac{z+4i}{5z-3}=\frac{a+ib+4i}{5a+ib-3}=....=....=$

soit vous devez écrire

$\frac{z+4i}{5z-3} \in \mathbb{R} \iff \frac{a+ib+4i}{5(a+ib)-3} \in \mathbb{R}  \iff  ...  \iff  .... \iff  ....$

et si vous souhaitez vérifier votre calcul en utilisant l'astuce que j'ai proposée pour gagner un peu de temps, voilà ce que cela donne:

$\frac{z+4i}{5z-3} = \frac{z+4i}{5z-3} * \frac{\overline{5z-3}}{\overline{5z-3}}$

$\frac{z+4i}{5z-3} = \frac{z+4i}{5z-3} * \frac{5\overline{z}-3}{5\overline{z}-3}$

$\frac{z+4i}{5z-3} = \frac{5|z|^2-3z+20i\overline{z}-12i}{25|z|^2-15z-15\overline{z}+9}$

à ce moment vous remplacez z par x+iy et vous finissez le calcul (je vous laisse le refaire).

Il y a une autre petite erreur de rédaction et peut être une erreur théorique( je l'interprète comme cela, mais cela pourrait se discuter)

Vous écrivez "pour $z \in \mathbb{R}$ alors Im(z)=0", mais z est déjà utilisé pour autre chose dans l'exercice.

Il aurait été mieux d'écrire

$\frac{z+4i}{5z-3} \in \mathbb{R} \iff Im( \frac{z+4i}{5z-3})=0$

ou encore

Pour tout $z_1 \in \mathbb{C}, z_1 \in \mathbb{R} \iff Im( z_1)=0$

La ligne commençant par "Soit 5ai(4+b)..." n'est pas nécessaire car Im(a+ib)=b et non pas ib (par exemple Im(3+4i)=4 et pas 4i).

Une erreur de calcul entraine une difficulté d'interprétation du résultat.

5a(4+b)=20a+5ab et les 5ab se simplifient d'où

20a-3b-12=0

La question à mon avis ne se terminait pas là et il vous était demandé d'interpréter géométriquement le résultat.

Soit vous reconnaissez que l'ensemble de point M d'affixe a+ib tel que 20a-3b-12=0 appartienne à une "certaine" droite.

Soit je vous utilisez cette petite astuce au lieu de remplacer z par a+ib, vous remplacer par z par x+iy.

Ainsi vous obtenez

20x-3y-12=0

L'ensemble des point M(x;y) respectant cette équation sont les points qui appartiennent à la droite dont un vecteur directeur est (-3;-20) et passant le point (0;-4).

Pour rappel, l'ensemble des point M(x;y) respectant l'équation
ax+by+c=0  sont les points qui appartiennent à la droite dont un vecteur directeur est (b;-a) et passant un point (x0;y0) tel que
ax0+by0+c=0.

Il suffit de choisir ce que vous voulez pour x0, puis calculer y0 pour que l'équation soit respestée. Dans le cas présent, j'ai choisi x0=0
donc 20*0-3y-12=0 d'où y=-4.

Maintenant imaginons que le résultat soit réellement(ce qui n'est pas le cas ici)

25a-5ab-3b-12=0

Vous auriez pu répondre l'ensemble des points M d'affixe a+ib tel que 25a-5ab-3b-12=0(réponse acceptable mais on peut mieux faire).

Pour interpréter plus facilement, on utilise l'astuce z=x+iy

25x-5xy-3y-12=0

-5xy-3y=-25x+12

(-5x-3)y=-25x+12

si x est différent de  -3/5(1er cas)

$y=\frac{-25x+12}{-5x-3}$

donc l'ensemble des points M(x,y) tel que $y=\frac{-25x+12}{-5x-3}$ sont les points appartenant à la courbe représentative de la fonction   $f(x)=\frac{-25x+12}{-5x-3}$
(on peut même faire mieux les points M appartiennent à l'hyperbole H d'équation $y=\frac{-25x+12}{-5x-3}$ ).

si x =  -3/5(2ème cas)

25*(-3/5)-5*(-3/5)*y-3y-12=0
-15+3y-3y-12=0
-27=0

donc il n'existe pas de point M d'affixe x+iy tel que
x=-3/5 et 25x-5xy-3y-12=0

Finalement, l'ensemble des points M(x;y) tel que  25x-5xy-3y-12=0 est l'ensemble des points appartenant à l'hyperbole H d'équation
$y=\frac{-25x+12}{-5x-3}$ .

Si on note E l'ensemble des points M(x;y) tel que  25x-5xy-3y-12=0.

E=H  avec

H  l'hyperbole d'équation
$y=\frac{-25x+12}{-5x-3}$ .

Par ailleurs, j'ai fait une application android totalement gratuite avec beaucoup d'exercices corrigés pour aider les élèves de terminale en math expertes à réviser les nombres complexes (certains exercices ressemblent à celui-là).

https://*****

Si vous souhaitez voir à quoi l'app ressemble sans l'installer.

https://*****

malou edit > ** il existe des règles à respecter pour faire connaître un site et en faire de la publicité***

Posté par re : Retrouver un nombre complexes 21-12-21 à 10:27

Bonjour à tous,

@F23zaskia,
Tu as ignoré les informations données très clairement quand tu postes un nouveau sujet et encore plus claires quand tu postes une image. Pourquoi ?

Aux aidants,
Merci de tenir compte de « Un rappel des règles plus particulières pour ceux qui désirent apporter de l'aide »
dans A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

Posté par re : Retrouver un nombre complexes 21-12-21 à 11:36

colorszzzx bonjour

ton message est complètement hors charte...
admin

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