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Réunion finie ou dénombrable.
Bonjour, il y a une proposition de mon cours que j'ai du mal à comprendre :
"Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable. Si elle contient un ensemble dénombrable, elle est dénombrable".
En fait, l'expression "Une réunion finie ou dénombrable" me paraît tautologique par rapport au reste de la phrase. Aussi, prend-on chaque terme respectivement, ou de manière plus large avec les deux possibilités à chaque fois ?
Non je ne suis pas d'accord, tu peux très bien avoir une réunion non dénombrable d'éléments d'un ensemble dénombrables
Exemple : est un ensemble fini
Mais
n'est pas dénombrable
Bonjour
Aussi, prend-on chaque terme respectivement, ou de manière plus large avec les deux possibilités à chaque fois ?
Je ne comprends pas ta question.
S'il s'agit de la sempiternelle réflexion sur "dénombrable vs fini ou dénombrable", il faut juste bien garder à l'esprit qu'un ensemble fini est dénombrable et que oui, dans ce sens, "fini ou dénombrable" n'est pas très malin comme expression. En pratique cependant, on aime bien préciser le cas fini parce qu'il est sujet à des études particulières (combinatoire par exemple).
Il faut s'entendre sur la définition de " dénombrable " .
Dans le texte cité "Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable. Si elle contient un ensemble dénombrable, elle est dénombrable" , dénombrable veut dire "en bijection avec 
" .
Mais c ertains utilisent " dénombrable " à la place de " fini ou en bijection avec " .
Merci de vos réponses.
D'abord, je précise qu'effectivement, mon prof de maths a pris dénombrable dans le sens d'en bijection avec N (nous utilisons d'ailleurs la notion au plus dénombrable).
Je reformule la première partie de ma question : pourquoi ne pas écrire "Une réunion d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable" ? Pourquoi écrire d'entrée de jeu "finie ou dénombrable" ? Je ne comprends pas.
De manière plus générale, peut-on reformuler la proposition ainsi (car je trouve la formulation actuelle ambiguë): "Une réunion d'ensembles finis est finie. Une réunion d'ensembles dénombrables est dénombrable. Par ailleurs, si une réunion d'ensembles [quelconques ou finis ? question que je me pose] contient un ensemble dénombrable, alors cette réunion est dénombrable".
Car, si je suis @lionel52, il faudrait ajouter "respectivement" dans la proposition (comme je l'ai compris et reformulé ci-dessus).
Ah oui d'accord je vois ce qui te chiffonne.
Non on ne peut pas :
quand on dit réunion finie ou dénombrable, cela sous-entend réunion sur un ensemble fini ou dénombrable, bien sûr cela ne qualifie pas l'ensemble qu'est la réunion sinon ce serait effectivement une lapalissade. Cf. le contre-exemple de lionel52 pour bien voir que ce que tu proposes est incorrect (il a pris un ensemble non dénombrable, l'ensemble des réels, pour faire sa réunion, et met ton énoncé en défaut).
Une réunion finie d'ensembles finis est finie
Une réunion dénombrable d'ensembles finis est dénombrable
Une réunion finie d'ensembles dénombrables est dénombrable
Une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable
Donc :
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est fini ou dénombrable
Le théorème énoncé sans raccourci de langage est donc :
Soit un ensemble fini ou dénombrable et
une famille d'ensembles finis ou dénombrables. Alors
est finie ou dénombrable.
Désolé, mais je ne suis pas revenu sur la deuxième phrase de la proposition : "Si elle contient un ensemble dénombrable, elle est dénombrable" : de quelle type de réunion parle-t-on ?
Donc une réunion non finie ni dénombrable d'ensemble non finis ni dénombrables, à l'exception d'un seul qui est dénombrable, est dénombrable ?
Si cela est faux, a-t-on quand même : "une réunion finie ou dénombrable d'ensemble non finis ni dénombrables, à l'exception d'un seul qui est dénombrable, est dénombrable" ?
Trost
Je lis 2 choses fausses dans ce que tu as posté à 17h17 :
1.Une réunion d'ensembles finis est finie.
1.Une réunion d'ensembles dénombrables est dénombrable.
.Par contre sont vraies
..1' .Une réunion finie d'ensembles finis est finie.
et
...1 ' .Une réunion finie ou infinie mais dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
@etniopal : oui, mais désormais j'ai compris ce point, je me doutais que ce que j'écrivais à 17h17 était faussé dans la mesure où j'attendais des éclaircissements.
J'aimerais cependant, pour être définitivement sûr, une réponse à mon message de 17h51 (concernant la deuxième partie de la proposition).
Donc une réunion non finie ni dénombrable d'ensemble non finis ni dénombrables, à l'exception d'un seul qui est dénombrable, est dénombrable ?
Si cela est faux, a-t-on quand même : "une réunion finie ou dénombrable d'ensemble non finis ni dénombrables, à l'exception d'un seul qui est dénombrable, est dénombrable" ?
Bonjour
tu es sûr de l'avoir bien notée, cette deuxième partie ? c'est vraiment n'importe quoi
ce ne serait pas plutôt "si elle est contenue dans" ?
Oui, c'est un polycopié de mon prof. Mais je pense que cela veut dire : "Si une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis contient un ensemble dénombrable, alors la réunion est dénombrable". Non ?
une réunion dénombrable (non finie) d'ensembles finis est dénombrable (non finie)
une réunion finie d'ensembles dénombrables (non finis) est dénombrable (non finie)
Bonjour,
une réunion dénombrable (non finie) d'ensembles finis est dénombrable (non finie)
Une réunion dénombrable (non finie) d'ensembles finis peut être dénombrable (non finie).
Ou :
Une réunion dénombrable (non finie) d'ensembles finis disjoints est dénombrable (non finie)
effectivement le terme disjoints à son importance et encore il va falloir chipoter car c'est plutôt distincts que disjoints qui importera ...
il y a avait évidemment cet implicite que mes ensembles sont distincts : dans chaque ensemble il y a au moins un élément qui n'est pas dans d'autres ensembles
...
Cette phrase serait là pour signifier qu'il suffit d'un dénombrable non fini dans la réunion pour qu'elle perde le caractère "fini"... Je trouve ça super ambigu comme formulation
toute réunion finie ou dénombrable contenant au moins un dénombrable est dénombrable !!
Bah non ça c'est très faux
Confer plus haut : est une union finie et contient au moins un dénombrable, et n'est pas dénombrable.
En revanche toute union finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables, parmi lesquels un au moins est dénombrable, est dénombrable.
Non justement, on a discuté pendant trois plombes sur le fait de préciser "fini", "dénombrable", ou bien "fini ou dénombrable", si l'on pouvait enlever l'un ou l'autre, et sur des affirmations qui contenaient parfois "ensembles ni dénombrables, ni finis". Et ne pas préciser quelque chose dans un théorème (surtout quand ça le rend faux !!) n'est pas justifiable par le contexte...
ok tu chipotes ... à raison ... mais ...
Non je ne suis pas d'accord, tu peux très bien avoir une réunion non dénombrable d'éléments d'un ensemble dénombrables
Exemple :
Mais
lionel52 montre par son exemple que tous les termes sont nécessaires et je suis d'accord avec lui ...
Confer plus haut :
mais ... je suis d'accord avec toi car effectivement je sous-entendais des ensembles au plus dénombrables (comme dans le post initial)
je réitère mon affirmation avec ce que tu chipotes
toute union finie ou au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables contenant au moins un dénombrable est dénombrable !!
Oui, ça me convient mieux puisqu'au moins, c'est vrai... 
Pour moi c'est tout sauf du chipotage, et sans volonté de te vexer, je ne laisserais jamais passer un truc comme ça sur une copie.
ne pas préciser quelque chose dans un théorème (surtout quand ça le rend faux !!) n'est pas justifiable par le contexte...
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