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Réunion finie ou dénombrable.

Posté par
Trost
11-06-19 à 16:27

Bonjour, il y a une proposition de mon cours que j'ai du mal à comprendre :

"Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable. Si elle contient un ensemble dénombrable, elle est dénombrable".

En fait, l'expression "Une réunion finie ou dénombrable" me paraît tautologique par rapport au reste de la phrase. Aussi, prend-on chaque terme respectivement, ou de manière plus large avec les deux possibilités à chaque fois ?

Posté par
lionel52
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 16:33

Non je ne suis pas d'accord, tu peux très bien avoir une réunion non dénombrable d'éléments d'un ensemble dénombrables


Exemple : A_x = \{x\} est un ensemble fini

Mais
\cup_{x\in \mathbb{R}}A_x = \mathbb{R} n'est pas dénombrable

Posté par
Jezebeth
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 17:00

Bonjour

Citation :
Aussi, prend-on chaque terme respectivement, ou de manière plus large avec les deux possibilités à chaque fois ?


Je ne comprends pas ta question.
S'il s'agit de la sempiternelle réflexion sur "dénombrable vs fini ou dénombrable", il faut juste bien garder à l'esprit qu'un ensemble fini est dénombrable et que oui, dans ce sens, "fini ou dénombrable" n'est pas très malin comme expression. En pratique cependant, on aime bien préciser le cas fini parce qu'il est sujet à des études particulières (combinatoire par exemple).

Posté par
etniopal
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 17:09

    Il faut s'entendre sur la définition de " dénombrable " .
Dans le texte cité "Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable. Si elle contient un ensemble dénombrable, elle est dénombrable" , dénombrable veut dire "en bijection avec  " .

Mais c ertains  utilisent   " dénombrable " à la place de " fini ou en bijection avec  "  .  

Posté par
Trost
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 17:17

Merci de vos réponses.

D'abord, je précise qu'effectivement, mon prof de maths a pris dénombrable dans le sens d'en bijection avec N (nous utilisons d'ailleurs la notion au plus dénombrable).

Je reformule la première partie de ma question : pourquoi ne pas écrire "Une réunion d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable" ? Pourquoi écrire d'entrée de jeu "finie ou dénombrable" ? Je ne comprends pas.

De manière plus générale, peut-on reformuler la proposition ainsi (car je trouve la formulation actuelle ambiguë): "Une réunion d'ensembles finis est finie. Une réunion d'ensembles dénombrables est dénombrable. Par ailleurs, si une réunion d'ensembles [quelconques ou finis ? question que je me pose] contient un ensemble dénombrable, alors cette réunion est dénombrable".

Car, si je suis @lionel52, il faudrait ajouter "respectivement" dans la proposition (comme je l'ai compris et reformulé ci-dessus).

Posté par
Jezebeth
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 17:19

Je reformule la première partie de ma question : pourquoi ne pas écrire

Ah oui d'accord je vois ce qui te chiffonne.
Non on ne peut pas :
quand on dit réunion finie ou dénombrable, cela sous-entend réunion sur un ensemble fini ou dénombrable, bien sûr cela ne qualifie pas l'ensemble qu'est la réunion sinon ce serait effectivement une lapalissade. Cf. le contre-exemple de lionel52 pour bien voir que ce que tu proposes est incorrect (il a pris un ensemble non dénombrable, l'ensemble des réels, pour faire sa réunion, et met ton énoncé en défaut).

Posté par
lionel52
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 17:20

Une réunion finie d'ensembles finis est finie
Une réunion dénombrable d'ensembles finis est dénombrable
Une réunion finie d'ensembles dénombrables est dénombrable
Une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable


Donc :

Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est fini ou dénombrable

Posté par
Jezebeth
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 17:23

Le théorème énoncé sans raccourci de langage est donc :

Soit E un ensemble fini ou dénombrable et (A_i)_{i\in E} une famille d'ensembles finis ou dénombrables. Alors \bigcup_{i\in E}A_i est finie ou dénombrable.

Posté par
Trost
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 17:33

Tout s'éclaire ! Merci à vous.

Posté par
Trost
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 17:37

Désolé, mais je ne suis pas revenu sur la deuxième phrase de la proposition : "Si elle contient un ensemble dénombrable, elle est dénombrable" : de quelle type de réunion parle-t-on ?

Posté par
matheuxmatou
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 17:46

on s'en moque ! regarde la dernière indication de lionel52

Posté par
Trost
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 17:51

Donc une réunion non finie ni dénombrable d'ensemble non finis ni dénombrables, à l'exception d'un seul qui est dénombrable, est dénombrable ?

Si cela est faux, a-t-on quand même : "une réunion finie ou dénombrable d'ensemble non finis ni dénombrables, à l'exception d'un seul qui est dénombrable, est dénombrable" ?

Posté par
etniopal
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 18:32

Trost

Je lis 2 choses fausses dans ce que tu as posté à  17h17 :
1.Une réunion d'ensembles finis est finie.
1.Une réunion d'ensembles dénombrables est dénombrable.

.Par contre  sont vraies
..1' .Une réunion finie d'ensembles finis est finie.
et
  ...1 ' .Une réunion finie ou infinie mais dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.

Posté par
Trost
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 18:49

@etniopal : oui, mais désormais j'ai compris ce point, je me doutais que ce que j'écrivais à 17h17 était faussé dans la mesure où j'attendais des éclaircissements.
J'aimerais cependant, pour être définitivement sûr, une réponse à mon message de 17h51 (concernant la deuxième partie de la proposition).

Posté par
Jezebeth
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 19:04

Citation :
Donc une réunion non finie ni dénombrable d'ensemble non finis ni dénombrables, à l'exception d'un seul qui est dénombrable, est dénombrable ?


\bigcup_{x \in \mathbb{R}}\left(\bigcup_{y \in \mathbb{R}}\left\{xy \right\} \right) \cup \mathbb{N}=\mathbb{R} n'est pas dénombrable.

Citation :
Si cela est faux, a-t-on quand même : "une réunion finie ou dénombrable d'ensemble non finis ni dénombrables, à l'exception d'un seul qui est dénombrable, est dénombrable" ?


\mathbb{R} \cup \mathbb{N}=\mathbb{R} n'est pas dénombrable.

Posté par
lafol Moderateur
re : Réunion finie ou dénombrable. 11-06-19 à 20:47

Bonjour
tu es sûr de l'avoir bien notée, cette deuxième partie ? c'est vraiment n'importe quoi
ce ne serait pas plutôt "si elle est contenue dans" ?

Posté par
Trost
re : Réunion finie ou dénombrable. 12-06-19 à 08:08

Oui, c'est un polycopié de mon prof. Mais je pense que cela veut dire : "Si une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis contient un ensemble dénombrable, alors la réunion est dénombrable". Non ?

Posté par
carpediem
re : Réunion finie ou dénombrable. 12-06-19 à 08:51

\N = \cup_{n \in \N} \{n\}
 \\ 
 \\ \N = \{2n  /  n \in \N \} \cup \{2n+ 1  /  n \in \N \}

une réunion dénombrable (non finie) d'ensembles finis est dénombrable (non finie)

une réunion finie d'ensembles dénombrables (non finis) est dénombrable (non finie)

Posté par
Sylvieg
re : Réunion finie ou dénombrable. 12-06-19 à 09:44

Bonjour,

Citation :
une réunion dénombrable (non finie) d'ensembles finis est dénombrable (non finie)
Je préfère :
Une réunion dénombrable (non finie) d'ensembles finis peut être dénombrable (non finie).
Ou :
Une réunion dénombrable (non finie) d'ensembles finis disjoints est dénombrable (non finie)  

Posté par
carpediem
re : Réunion finie ou dénombrable. 12-06-19 à 14:44

effectivement le terme disjoints à son importance et encore il va falloir chipoter car c'est plutôt distincts que disjoints qui importera ...

\N = \cup_{n \in \N} \{1, n \} = \cup_{n \in \N} \{n, 2n \} = \cup_{n \in \N} \{n, n + 1, n + 2, ... , 2n \}

il y a avait évidemment cet implicite que mes ensembles sont distincts : dans chaque ensemble il y a au moins un élément qui n'est pas dans d'autres ensembles

...

Posté par
lafol Moderateur
re : Réunion finie ou dénombrable. 12-06-19 à 17:35

Cette phrase serait là pour signifier qu'il suffit d'un dénombrable non fini dans la réunion pour qu'elle perde le caractère "fini"... Je trouve ça super ambigu comme formulation

Posté par
carpediem
re : Réunion finie ou dénombrable. 12-06-19 à 17:37

toute réunion finie ou dénombrable contenant au moins un dénombrable est dénombrable !!

Posté par
Jezebeth
re : Réunion finie ou dénombrable. 12-06-19 à 19:19

carpediem @ 12-06-2019 à 17:37

toute réunion finie ou dénombrable contenant au moins un dénombrable est dénombrable !!



Bah non ça c'est très faux

Posté par
carpediem
re : Réunion finie ou dénombrable. 12-06-19 à 20:24

explique ...

Posté par
Jezebeth
re : Réunion finie ou dénombrable. 12-06-19 à 20:29

Confer plus haut : \mathbb{R} \cup \mathbb{N}= \mathbb{R} est une union finie et contient au moins un dénombrable, et n'est pas dénombrable.

Posté par
Jezebeth
re : Réunion finie ou dénombrable. 12-06-19 à 20:30

En revanche toute union finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables, parmi lesquels un au moins est dénombrable, est dénombrable.

Posté par
carpediem
re : Réunion finie ou dénombrable. 13-06-19 à 17:42

ouais donc tu chipotes !!!

ici on parlait d'au plus de dénombrables !!!

Posté par
Jezebeth
re : Réunion finie ou dénombrable. 13-06-19 à 19:08

Non justement, on a discuté pendant trois plombes sur le fait de préciser "fini", "dénombrable", ou bien "fini ou dénombrable", si l'on pouvait enlever l'un ou l'autre, et sur des affirmations qui contenaient parfois "ensembles ni dénombrables, ni finis". Et ne pas préciser quelque chose dans un théorème (surtout quand ça le rend faux !!) n'est pas justifiable par le contexte...

Posté par
carpediem
re : Réunion finie ou dénombrable. 13-06-19 à 20:18

ok tu chipotes ... à raison ... mais ...

lionel52 @ 11-06-2019 à 16:33

Non je ne suis pas d'accord, tu peux très bien avoir une réunion non dénombrable d'éléments d'un ensemble dénombrables


Exemple : A_x = \{x\} est un ensemble fini

Mais
\cup_{x\in \mathbb{R}}A_x = \mathbb{R} n'est pas dénombrable
le deuxième exemple est une union non dénombrable d'ensembles finis !!

lionel52 montre par son exemple que tous les termes sont nécessaires et je suis d'accord avec lui ...

Jezebeth @ 12-06-2019 à 20:29

Confer plus haut : \mathbb{R} \cup \mathbb{N}= \mathbb{R} est une union finie et contient au moins un dénombrable, et n'est pas dénombrable.
est un exemple d'union finie d'ensembles non dénombrables !!!

mais ... je suis d'accord avec toi car effectivement je sous-entendais des ensembles au plus dénombrables (comme dans le post initial)

je réitère mon affirmation avec ce que tu chipotes
carpediem @ 12-06-2019 à 17:37

toute union finie ou au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables contenant au moins un dénombrable est dénombrable !!

cela te convient-il ?

Posté par
Jezebeth
re : Réunion finie ou dénombrable. 14-06-19 à 19:03

Oui, ça me convient mieux puisqu'au moins, c'est vrai...

Pour moi c'est tout sauf du chipotage, et sans volonté de te vexer, je ne laisserais jamais passer un truc comme ça sur une copie.

Jezebeth @ 13-06-2019 à 19:08

ne pas préciser quelque chose dans un théorème (surtout quand ça le rend faux !!) n'est pas justifiable par le contexte...

Posté par
carpediem
re : Réunion finie ou dénombrable. 14-06-19 à 19:43

ouais mais dans la philosophie de la question posée et de la réponse de lionel52 on travaillait avec des ensembles dénombrables !!

maintenant sans contexte on précisera tout du début à la fin bien sur ...

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