Révision du bac: exo 1

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Révision du bac: exo 1
Posté par 
monrow   09-06-07 à 13:26
Bonjour,

donc pour cette période de révision, je pense que c'est bien de poster des exos où on peut s'entrainer 

Exercice n°1: Arithmétique

Citation :

Soient x et y deux entiers naturels non nuls qui réalisent:

1- Montrer que l'un des entiers x et y est pair et l'autre est impair.

2- On suppose que x est pair.

   a- Montrer que: 

   b- Montrer qu'il existe deux entiers naturels impairs m et n tel que:  et  et 

3- déterminer x et y

4- En déduire les solutions de l'équation: 

Citation :

Pour ceux qui aiment les défis:

Résoudre dans  l'équation: 

Bon courage (Réponses blanquées)
 Posté par 
Nightmarere : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 13:38
Salut 

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1-Si l'on suppose x et y de même parité, alors x²+y² est pair => Absurde puisque x²+y²=625 donc x et y sont de parité différente.

2.  y²=625-x²=(25-x)(25+x)

Soit d un diviseur premier différent de 1 commun à 25-x et 25+x

Alors d divise leur différence soit d|2x

Vu que x est pair, 25-x et 25+x sont impairs donc d ne peut pas diviser 2, vu qu'il est premier il est donc premier avec 2 donc d'après Gauss d|x.

De même d divise (25-x)(25+x) donc divise y². Comme d est premier, d|y.

Finalement d|pgcd(x,y) donc d=1 => Absurde.

D'où PGCD(25-x,25+x)=1

Je dois aller manger donc rapidement pour la b. en utiliasnt la décomposition en produit de facteurs premiers c'est direct.

 Posté par 
monrow re : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 13:43
>Jord< 
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Toujours des bonnes réponses aux défis.. Comment veux-tu que je te réctifie un truc ici à un exercice normal .

C'est tout à fait ce qui est demandé  Bonne appétit.. Et j'attend la suite pour après

 Posté par 
Fractalre : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:03
Salut 

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J'ai pas compris la question subsidiaire 

Il suffit de vérifier que  ?

Fractal 
 Posté par 
monrow re : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:05
>Fractal<

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IL suffit de trouver le x qui est solution. mais sans calculette  c'est ça le but
 Posté par 
Fractalre : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:10
monrow -> 
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D'accord, j'ai la flemme de le faire, mais avec la formule générale des triplets pythagoriciens on doit pouvoir s'en sortir sans trop de mal 

Fractal 
 Posté par 
monrow re : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:14
>Fractal<

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Tout à fait.. Mais je pense que c'est facile d'utiliser ici les triplets pythagoriciens (je n'ai pas essayé) mais il faut juste appliquer une petite simplification et tout va se clarifier  (en 2 lignes) et bien sur tu es capable de le faire puisque c'est un exercice type olympiade 
 Posté par 
Nightmarere : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:17
Pour le second :

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L'équation équivaut à 

Si x est une solution entière, alors (x-999999) et (x+999999) sont des entiers. Il suffit donc d'écrire 28x56 sous toutes les formes de produit de deux facteurs possible et de regarder s'il existe un x qui convient.

Evidemment c'est laborieux, alors on essaye de restreindre les possibilité.

Pour cela on sait que x+999999 doit être positif, donc les seules valeurs possibles pour ce facteur sont :

Résolvons alors les systèmes un par un :

La première ligne donne 1 ce qui ne correspond pas à la seconde. ce système n'a aucune solution.

Deuxième système :

La solution  marche.

Pas besoin d'aller plus loin car l'équation n'admet qu'une solution positive.

Finalement 

 Posté par 
Fractalre : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:20
monrow -> 
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Citation :
et bien sur tu es capable de le faire puisque c'est un exercice type olympiade

Tu es bien optimiste je trouve 

Il suffit de dire que  donc 

Nightmare ->  Cliquez pour afficher
Tu te compliques la vie 

Fractal 
 Posté par 
monrow re : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:21
>Jord<

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C'est trop bon  et c'est la bonne réponse

mais ta méthode est un peu plus longue

essaie de remarquer que:  et que 

A
 Posté par 
Nightmarere : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:22
Tout le monde > 
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Certes mais ma méthode marche dans un cas général 
 Posté par 
monrow re : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:23
>Fractal<

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Effectivement  Donc je n'ai pas menti en disant que je suis sur que tu vas la trouver  Très bon raisonnement Fractal.. Je dois chercher un défi que tu ne peux pas faire  (mais est-il possible??) 
 Posté par 
Fractalre : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:25
Nightmare -> 
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Absolument, mais dans le cas présent c'était un peu compliqué 

monrow ->  Cliquez pour afficher
Ca ne doit pas être dur à trouver, un défi que je ne sache pas résoudre 

Fractal 
 Posté par 
monrow re : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:28
>Jord<

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oui. effectivement.. mais parfois c'est plus simple de remarquer . En tout cas, c'est un très bon raisonnement

>Fractal<

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je chercherai un exercice de CE1 
 Posté par 
Bourricotre : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:54
Je viens de trouver 
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on arrive à (106 + 1)2 donc x = 106 + 1
 Posté par 
monrow re : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 14:59
>Bourricot<

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Tout à fait.. mais donne ton développement si tu as un peu de temps 
 Posté par 
Bourricotre : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 15:05
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A = (106 - 1)2 + (2 * 103)2

A = (106)2 - 2 * 106 + 1 + 4 * 106

A = (106)2 + 2 * 106 + 1

A = (106 + 1)2
 Posté par 
Bourricotre : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 15:06
C'est même faisable au collège !
 Posté par 
monrow re : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 15:08
Bourricot

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Tout à fait 
 Posté par 
monrow re : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 21:00
 
 Posté par 
infophilere : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 21:11
Ah ben je l'avais pas vu ce défi 
  Posté par 
monrow re : Révision du bac: exo 1  09-06-07 à 21:14
A toi Kevin.. Tu aimes aussi l'arithmétique