1)la premiere colonne de A est donnée par les coordonnées de e1 dans la base B,la deuxieme par les coordonnées de e2 dans la base B et enfin la derniere par les coord de e3 dans la base B ce qui donne au final:



A=Mat(g,B)=   1  1  1
              m  1  m-1
              1  m  1

2) la famille (e1,e2,e3) est libre se traduit par:
le determinant de A est different de 0 (c'est à dire la matrice est inversible)
simplifions A pour calculer plus aisément son determinanten rappelant que l'on ne change pas le determinant en ajoutant m fois une ligne à une autre ligne
faisons m*L1-L2 et L1-L3, on obtient:

A=  1  1  1
    0 m-1 1
    0 1-m 0

on fait ensuite L2+L3, on trouve:

A=  1  1  1
    0 m-1 1
    0  0  1

on calcule le determinant par rapport a la derniere colonne on trouve detA=m-1 qui doit etre different de 0 c'est a dire m doit etre different de 1

3)
AX=B se traduit matriciellement par:

1  1  1        x       4
m  1  m-1  *   y   =   1
1  m  1        z       4

on obtient le systeme:

x+y+z=4
x+y=1
x+y+z=4

on obtient alors

x+y+z=4
x+y=1

on exprime en fonction de x :

x=1-y et z=3

on trouve finalement :

(x,y,z)=(1-y,y,3)=(1,0,3)+y(-1,1,0)

b) on fait de meme avec Ax=C

4)
  a)dans cette question m=-1 donc m est different de 1 donc la famille de vecteur ((1,-1,1),(1,1,-1),(1,-2,1)) est libre d'apres la question 2).
On a donc une famille libre de trois vecteurs dans un espace de dimension trois donc c'est une base de E
  b)pour trouver M c assez simple on trouve directement    M= -1 2 0
                   1 0 1
                   0 1 -1

Pour M' on procède ainsi:

on calcule f(e1) pour avoir le premier vecteur colonne on a f(e1)=f(i-j+k)=f(i)-f(j)+f(k)(car f est lineaire)
on trouve donc f(e1)=-i+j-2i-k+j-k=-3i+2j-2k
de meme f(e2)=f(i+j-k)=f(i)+f(j)-f(k)=-i+j+2i+k-j+k=i+2k
et enfin f(e3)=f(i-2j+k)=f(i)-2f(j)+f(k)=-i+j-4i-2k+j-k=-5i+2j-3k

On trouve ainsi


M'=  -3  1  -5
      2  0   2
     -2  2  -3

voila en esperant que cela t'aidera ciao @+

Bonsoir

Merci raphyy pour ton aide


A+
Kiss
Nathalie

Salut

Juste une petite question sur un point :

Pour M' on procède ainsi:

on calcule f(e1) pour avoir le premier vecteur colonne on a f(e1)=f(i-j+k)=f(i)-f(j)+f(k)(car f est lineaire)
on trouve donc f(e1)=-i+j-2i-k+j-k=-3i+2j-2k
de meme f(e2)=f(i+j-k)=f(i)+f(j)-f(k)=-i+j+2i+k-j+k=i+2k
et enfin f(e3)=f(i-2j+k)=f(i)-2f(j)+f(k)=-i+j-4i-2k+j-k=-5i+2j-3k

Ok mais je comprends pas comment on fait pour par exemple :

f(e1) = f(i+j+k) idem pour les autres..

De plus pour le calcul de AX=C
J'ai un soucis pour z .

Merci d'avance
A+

pardon je voulais dire f(e1) = f(i-j+k)

dsl
a+