[Révisions Bac]Intégrale de Wallis :*::*::*::*: - forum de maths

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[Révisions Bac]Intégrale de Wallis 
Posté par 
Epicurien  24-04-08 à 20:57
Bonjour, 

Je vous propose le bac arrivant (boudu encore loin : 1mois et quelques..) des exos pour s'entrainer tout en "s'amusant" 

Voici le premier qui traite d'une intégrale de Wallis .

Niveau:A partir de la Terminale 

Théme:Suites et intégrales

Citation :
Soit  définie par:

1-Montrer que: 

2-Montrer que la suite  est décroissante.

3-Etablir une relation de récurrence entre  et 

4-En déduire que:  et 

5-Démontrer que pour tout entier positif: 

6-Démontrer l'inégalité suivante: 

7-En déduire la limite suivante: 

8-Conclure que 

Réponses en blanké s'il vous plaît. 

Have fun! 
 Posté par 
gui_toure : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 20:58
Salut Kuid 

Ma réponse :

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Merci pour l'exo 
 Posté par 
Epicurienre : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 21:02
Salut Guitou..

..ou l'homme qui sait comment ruiner un latex en 1minute 

Bien entendu, cet exercice est à faire sans tricher pour ceux qui veulent 
 Posté par 
simon92re : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 21:09
salut, très bonne idée 

Je poste le début de peur d'un bugg de mon ordi incertain

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1- si  ,  donc  pour tout  d'ou 

2- on reprend 0< sin x<1, ainsi si  et pour tout  ,  d'ou 

3- On pars de l'expression de  et on fait une double integration par partie, les deux truc entre crochets sont virés, et on trouve, si je ne m'amuse dans mes calculs .

4- Bien relou a rediger mais bon:  , par iteration successive (ou par reccurence) on a 

on continu un peu, 
 Posté par 
simon92re : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 21:14
suite: 

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on reprend tout,sachant que 2^n\times 2^n=2^{2n} on arrive a un résultat pas mal et l'on arrive surtout a ton expression de u_{2n}, et en calculant u_1=1 on trouve de la même manière ton expression de u_{2n+1}

5- Je suis pas sur, mais je dirais qu'en calculant 2nu_{2n}u_{2n-1} tout devrais bien se simplifier, et l'on en déduit que pour tout n, ton expression est juste. pas envie de détailler les calculs, je vérifirer que ca amrche a la fin

6- asuivre
 Posté par 
simon92re : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 21:15
zut le latex!! 
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on reprend tout,sachant que  on arrive a un résultat pas mal et l'on arrive surtout a ton expression de  , et en calculant  on trouve de la même manière ton expression de 

5- Je suis pas sur, mais je dirais qu'en calculant  tout devrais bien se simplifier, et l'on en déduit que pour tout n, ton expression est juste. pas envie de détailler les calculs, je vérifirer que ca amrche a la fin

6- asuivre
 Posté par 
Epicurienre : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 21:19
Salut Simon 

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1-Ok

2-Ok

3- Tu peux arranger ta relation trouvée au 3/ (chipotage ) 

4-Oui c'est bien de la récurrence 

 Posté par 
simon92re : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 21:22
6- 
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 décroissante comme , on a . hop on utilise la même propité, pour majorer ce quotient par  soit par . On a la double inégalité demendée
 Posté par 
simon92re : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 21:22
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comment ca je peux arranger mon 3/? je te le rédige tout a l'heure 
 Posté par 
simon92re : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 21:28
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7- gendarmes converge vers 1

8- Peut-être une bétise, mais en gros,  comme  et  on la même limite, on peut dire que  tend vers  d'ou

 soit si on remplace, ca doit surment donner l'expression de l'énoncé.
 Posté par 
simon92re : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 21:31
complement: 
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on peut plus simplement regarder  soit  on remplace et l'on trouve un autre  , on passe toute la grosse fraction de l'autre coté, on divise par  et on y est
 Posté par 
tealcre : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 22:39
Bonsoir all ^^

Merci pour l'exo classique 

Roooo j'ai donné en khôlles l'exo à mes sup en début d'année ... ils ont moyen aimé ^^
 Posté par 
Epicurienre : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 22:42
Salut tealc 

Je suppose avec moins de questions intermédiaires? 
 Posté par 
simon92re : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 22:42
j'espère, mais t'inquète, mon exo arrive epi 
 Posté par 
tealcre : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   24-04-08 à 22:45
En début de sup, il ne faut pas trop en demander ^^ Donc globalement, c'est les même questions, avec une petite ellipse (pas de question 3 et 6 sauf si le besoin se fait sentir)

et en fonction du niveau, je peux demander pour la question 4 qu'il me propose la valeur d'un d'eux même.

Mais en général (et vu le niveau au début de l'année) iils ont le droit à toutes les questions 
  Posté par 
Epicurienre : [Révisions Bac]Intégrale de Wallis   25-04-08 à 03:32
Ok