Bonjour
Soit f: [a,b ]=> une fonction de classe C2 . pour n * , on pose :
1) Justifier que Sn quand n (REUSSI)
2) On pose M = sup {|f''(s)|}; s [a,b]
a) Montrer que pour tout m [a,b], on peut trouver une fonction afine \ telle que
= f(m) et t [a,b] = ≤ M
b) Soient u,v [a,b] avec u<v et soit m= . Montrer que pour toute fonction affine \ on a
(REUSSI)
c) Déduire de (a) (b) que pour tout u<v dans [a,b] , on a :
≤ M
(REUSSI)
3) montrer que pour tout n * , on a
≤ M
Pouvais vous m'aider pour la question 3
Pour la question 2)a je l'ai commencer partiellement pouvais vous m'aider a la finir egallement
MERCI
Pour la 2) a j'ai fait
je me suis servi de la formule et de l'inégalité de taylor en disant
≤
Du coup b=t ici
≤
mais je ne sais pas comment faire apres pour retrouvrer le alpha
Juste une remarque sur la question 1)
Elle se traite de façon générale et c'est toujours le même argument : l'uniforme continuité de f sur [a;b].
Soit .
Si à tout entier n assez grand, on associe une subdivision régulière de , alors le pas de la subdivision est suffisamment petit pour que sur chaque intervalle f puisse être approximée par n'importe quelle de ses valeurs (disons ), de sorte que l'erreur commise,sur cet intervalle, avec son intégrale soit au plus de .
Donc
En particulier, en prenant où
Pourtant sur mon enoncé c'est écrit comme ca Mais la question 1 je l'ai déja fait J'ai besoin d'aide pour la 2a et la 3
Le 2)a) n'est autre que la démonstration de la formule de Taylor à l'ordre 2.
Si tu veux, voici le raisonnement à faire :
Si est une fonction sur un intervalle [a;b], on cherche un réel A tel qui vérifie .
On pose alors la fonction .
Clairement : est continue sur , dérivable sur donc sur et : elle vérifie les hypothèses du théorème de Rolle.
Donc il existe un certain tel que . On dérive et on trouve .
On applique alors ce résultat à la fonction de l'énoncé avec t et m deux points quelconques de [a;b] et on trouve que :
il existe
On pose et on a pour tout
-
- .
Avant de traiter la 3), je pense qu'il faut reprendre l'énoncé :
J'ai oublier une question , avec ce qu'on à fait on doit trouver une valeur approchée de ln(3) à 10^-2 pres . pour faire ca on pose f(x) = 1/t et on prend a = 1 et b= 3 mais apres je bloque avec la formule qu'on nous donne
du coup
| ln3 - (\frac{3-1}{2} f(\frac{3+1}{2} |≤ 2.\frac{2^3}{24.9^2}
=> Ln(3) ≤ \frac{16}{1944} +1
=> Ln(3) ≤ 1,0082..... avec n =9
or ln 3 = 1,09861 ≥ 1,0082 et pas 1,09861 ≤ 1,0082
Il faut voir quels sont les (définis ici : Riemann )
Ici, , donc et on découpe en 9 intervalles de longueur
Et on devrait avoir
Ci-dessous une simulation avec excel 2013.
La cellule F9 montre clairement que prendre n = 9 est obligatoire pour obtenir la précision voulue.
Et qu'en prenant, n = 9, la précision passe de à
désolé pour le multi-post mais j'ai un peu fail ^^
Car quand je remplace S et S par leur valeur, j'obtiens: pour k allant de 1 à n
Or le 1/2 est en trop :/
Bonjour Axelens.
Non, ce n'est pas du multi-post puisque tu n'ouvres pas deux fils pour une même question
D'accord
En fait quand je pars de
pour k allant de 0 à n-1
J'obtiens:
pour k allant de 0 à n-1
Mais pour pouvoir appliquer la formule de Riemann, je ne devrai pas avoir ce 1/2
Ah non, ce n'est pas du tout cela que je dis dans ce message.
Je dis simplement que si tu considères les subdivisions successives de l'intervalle [a;b], alors quelles que soient les valeurs que tu prennes dans les intervalles d'une subdivision, la suite des sommes de Riemann associées à ces subdivisions tendront vers l'intégrale de f.
En particulier, le milieu des intervalles de la subdivision convient.
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