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Rien ne sert de courir, il faut partir à point****

Posté par
Victor
28-10-04 à 19:46

On part de deux nombres entiers naturels A et B tels que A soit inférieur à B. Ce sont les deux premiers termes.
On écrit la suite de nombres, construite selon la règle suivante : chaque terme est égal à la somme des deux termes qui le précèdent dans la suite.
Exemple : (la suite dite de Fibonacci)
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Quels doivent être les deux premiers nombres de départ pour que le dixième terme de la suite soit égal à 2004 ?

Bon courage.
Clôture de l'énigme : vendredi soir.

Posté par BioZiK (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 28-10-04 à 20:36

Je dirais les 2 premiers termes 8 et 54 ce qui nous donne la suite suivante

8 - 54 - 62 - 116 - 178 - 294 - 472 - 766 - 1238 - 2004

il en existe d'autres mais tous les termes ne sont pas entiers. il suffit de prendre par exemple pour premiers termes 25 et 43.5

25 - 43.5 - 68.5 - 112 - 180.5 - 292.5 - 473 - 765.5 - 1238.5 - 2004

Après recherche on trouve qu'il existe exactement 36 suites ordonnées avec un premier terme entier vérifiant que le dixième terme vaut 2004. Malheureusement une seule de ces suites n'est composée que de termes entiers.

Posté par moor31 (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 28-10-04 à 20:52

gagnéPour cette suite :

u1 = 8
u2 = 54
u3 = 62
u4 = 116
u5 = 178
u6 = 294
u7 = 472
u8 = 766
u9 = 1238
u10 = 2004

Donc A=8 et B=54

Posté par titimarion (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 28-10-04 à 21:03

gagnéEn calculant en trouve que le 10 ème terme est de la forme21A+34B
Or comme 21 et 34 sont premier entre eux on sait qu'il existe U et V tel que AU+BV=1 avec A<B d'après Bezout
Par un calcul bidon on trouve que U=-21 et V=13
ainsi il suffit de prendre A=-21*2004=-42084 et B=13*2004= 26052 pour que le dixième terme soit 2004 et par vérification en calclant tous les termes on peut observer que le huitième et le 11 ème sont aussi égaux à 2004.
Bien sur U et V étant défini respectivement modulo 34 et modulo 21, on eut créer une infinité de valeurs tel que ca marche.
A=(-21-k*34)*2004 et B=(13+21*k)*2004 avec k entier naturel positif ou nul.

Posté par zineb (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 28-10-04 à 22:12

bonsoir je m'aventure dans la résolution de cette enigme ... en espérant que les nombres négatifs passent ...

alors voilà on applique le fait que U[/sub]n=U[sub](n-2)+ U[/sub](n-1)
on obitent en remplaçant au fur et à mesure
U[sub]
(10)=21U[/sub](1)+34U[sub](2)
d'où on a 21U[/sub](1)+34U[sub](2)=2004
on résoud et on trouve que
U[/sub](1)=2004(-34k+13) et U[sub](2)=2004(21k-8)  k appartenant a Z

si on prend k=1 on obtient la suite suivante :
-42084 ; 26052 ; -16032 ; 10020 ; -6012; 4008; -2004; 2004; 0; 2004

si on prend k=-1 on obtient la suite suivante :
94188; -58116; 36072; -22044; 14028; -8016; 6012;     -2004; 4008; 2004

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 28-10-04 à 22:28

gagnéIl n'a pas été précisé que les nombres devaient être des entiers, mais je l'ai supposé.

Ma solution:

A = 8 et B = 54

Posté par
muriel Correcteur
re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 28-10-04 à 22:36

gagnéje donne mes résultats:
1er terme: 8, second: 54
début de mon raisonnement:
soit (u_n) cette suite:
u_8+u_9=2004
u_7+u_8=u_9
2(u_6+u_7)=2u_8
3(u_5+u_6)=3u_7
5(u_4+u_5)=5u_6
8(u_3+u_4)=8u_5
13(u_2+u_3)=13u_4
21(u_1+u_2)=21u_3

en additionnant terme à terme, on a:
21u_1+34u_2=2004
avec u_1<u_2
et entier
du fait que 21 et 34 sont premiers entre eux, on a des solutions. Je m'arrête ici pour les explications, je n'ai pas envie d'en écrire d'avantage

Posté par pinotte (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 28-10-04 à 23:35

gagnéLes deux premiers termes de la suite doivent être 8 et 54.

La suite sera la suivante:

8, 54, 62, 116, 178, 294, 472, 766, 1238, 2004.

On sait que dans la suite de Fibonacci, le rapport des termes consécutifs Fn+1/Fn est égale au nombre d'or (1+5/2).

2004 = 1+5
  x          2
On trouve que x 1238,5. En effectuant des soustractions par la suite pour trouver les termes précédents, on trouve que les deux premiers termes sont 8 et 54 lorsque x = 1238, et que la solution doit être rejetée lorsque x = 1239 (car F1F2).

Posté par draluom (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 28-10-04 à 23:50

gagnéPour que le dixième terme de la suite soit égal à 2004 il faut que les deux premiers nombres de départ soient 8 et 54
Donc, il faut que A soit égal à 8 et B soit égal à 54.

Posté par
dad97 Correcteur
re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 29-10-04 à 00:07

gagnéBonjour,

je suppose qu'il s'agit d'une suite d'entier relatifs (sinon je trouve aucune solution).

Un autre problème la solution que je trouve (les deux premiers termes) est loin d'être unique

Raisonnement :

Je note A,B les deux premiers termes de la suite que l'on cherche et (Un) la suite proprement dite.

On a pour tout entier naturel n :
Un+2=Un+1+Un

l'équation caractéristique de cette suite linéaire d'ordre 2 est : r²-r+1=0
Qui admet deux racines que je note x et y (je ne les explicite pas car on en aura pas besoin)

On alors :
Pour tout entier naturel n, U_n=Cx^n+Dy^n où C et D sont deux constantes déterminées par la donnée de Uo et U1

On a donc
A=Uo=C+D
B=U_1=Cx+Dy
U_{10}=Cx^{10}+Dy^{10}=2004 (*)

Occupons nous de (*)
En se rappelant que x²-x-1=0 et y²-y-1=0 (équation caractéristique)
On a donc x²=x+1 et y²=y+1

x^10=(x^2)^5=(x+1)^5=(x+1)(x+1)^{2^2}
=(x+1)(x^2+2x+1)^2=(x+1)(x+1+2x+1)^2
=(x+1)(3x+2)^2=(x+1)(9x^2+12x+4)
=(x+1)(9(x+1)+12x+4)=(x+1)(21x+13)
=21x^2+34x+13=21(x+1)+34x+13=55x+34

donc x^10=55x+34
de même y^10=55y+34

Soit U_{10}=C(55x+34)+D(55y+34)=55(Cx+Dy)+34(C+D)
Or A=Uo=C+D et B=U_1=Cx+Dy

Donc U_{10}=2004=34A+55B

On se retrouve avec une identité de Bezout.

PGCD(34,55)=1

Par l'algorithme d'Euclide on trouve une solution particulière (-21;13) à 34A+55B=1

Et donc les solutions entières à l'équation 2004=34A+55B sont dans l'ensemble :

S={ (-212004 + 55w;13 2004+34w) |w entier relatif}={(-42084+55w ; 26052-34w) |w entier relatif}

Mais tous ne convient pas puisque tu imposes en plus que A < B

or -42084+55w < 26052-34w <--> w<765,573...

Conclusion :

(A;B)\in{(-42084+55w ; 26052-34w)|w\in\mathbb{Z} [b]et w765}[/b]

En n'espérant ne pas m'être trompé.

Salut

Posté par Emma (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 29-10-04 à 00:36

Coucou

Je propose la suite définie pour tout entier naturel n non nul par    u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}     et         5$\.\array{rcl$u_1=8\\u_2=54\}


(au fait... comment on fait, pour avoir l'accolade à gauche ?...)

@+
Emma

Posté par Emma (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 29-10-04 à 00:37

(en espérant ne pas avoir oublié de changer dans mon message, et d'avoir bien marqué 8 et 54 !!)

Posté par
Belge-FDLE
re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 29-10-04 à 03:27

gagnéSalut à tous ,

Alors, comme Victor ne précise pas s'il faut que a et b soient des entiers naturels, des entiers, ou des réels, je traiterai les trois cas (qui sont possibles car une suite associe à un entier naturel, un réel) .
Cependant, vu comme la question est posée, Victor semble s'attendre à une solution unique qui selon moi, serait : a=8 et b=54.
J'ai tout de même traité tous les cas possibles .


Tout d'abord, il faut remarquer que si (Un) est notre suite, on a :
2$\rm~\array{rcl$u_1&=&a\\u_2&=&b\\u_3&=&a+b\\u_4&=&a+2b\\u_5&=&2a+3b\\u_6&=&3a+5b\\u_7&=&5a+8b\\u_8&=&8a+13b\\u_9&=&13a+21b\\u_{10}&=&21a+34b}

Or, on veut que le dixième terme de la suite (ici 2$\rm~u_{10}) soit égal à 2004.
On a donc :

2$\rm~21a+34b~=~2004
avec  2$\rm~a~<~b   (l'énigme le veut )

Une fois que l'on a remarqué cela, il va falloir adopter 3 démarches différentes selon que a et b sont des réels, des entiers, ou des entiers naturels.

a et b réels
C'est la démarche la plus simple et la plus rapide (raison pour laquelle je pense que Victor attendait que a et b soit des entiers) .
Il suffit tout d'abord d'exprimer a en fonction de b.
On a vu que :

2$\rm~21a+34b~=~2004
d'où  2$\rm~21a~=~2004-34b
càd  2$\rm~a~=~\frac{2004-34b}{21}

On se rappelle également que l'on doit avoir :

2$\rm~a~<~b
SSI  2$\rm~\frac{2004-34b}{21}~<~b
d'où  2$\rm~2004-34b~<~21b
càd  2$\rm~2004~<~55b
donc  2$\rm~\frac{2004}{55}~<~b

Conclusion : Cette énigme admettrait dans ce cas une infinité de solutions que l'on trouverait en choisissant un nombre b supérieur à 2$\rm~\frac{2004}{55} et en calculant, ensuite le nombre a correspondant grâce à l'expression suivante : 2$\rm~a~=~\frac{2004-34b}{21}.

Exemple : 2$\rm~b=50  et  2$\rm~a=\frac{304}{21}.

Je ne m'attarde pas plus longtemps sur ce cas .


a et b entiers
Voilà déjà un cas beaucoup plus intéressant .
Si a et b sont des entiers, la relation  2$\rm~21a+34b~=~2004  devient une équation diophantienne que je vais m'empresser de résoudre .

*21 et 34 sont premiers entre eux.
On va donc tout d'abord déterminer une solution particulière de l'équation diophantienne : 2$\rm~21a+34b~=~1.
En utilisant l'algorithme d'Euclide, on a :

2$\rm~\array{rcl$34&=&21+13\\21&=&13+8\\13&=&8+5\\8&=&5+3\\5&=&3+2\\3&=&2+1}

d'où  2$\rm~\array{rcl$1&=&3-2\times1\\1&=&3-2(3-2)~=~-3+2\times2\\1&=&-3+2(5-3)~=~-3\times3+2\times5\\1&=&-3(8-5)+2\times5~=~-3\times8+5\times5\\1&=&-3\times8+5(13-8)~=~-8\times8+5\times13\\1&=&-8(21-13)+5\times13~=~-8\times21+13\times13\\1&=&-8\times21+13(34-21)~=~-21\times21+13\times34}  

Ainsi, une solution particulière de l'équation diophantienne  2$\rm~21a+34b~=~1  est  2$\rm~\{a_{0'}=-21;b_{0'}=13\}.
On en déduit (en effectuant une multiplication par 2004) qu'une solution particulière de l'équation  diophantienne  2$\rm~21a+34b~=~2004  est  2$\rm~\{a_{0}=-42084;b_{0}=26052\}.

**On va à présent déterminer toutes les solutions de l'équation diophantienne  2$\rm~21a+34b~=~2004.
On vient de voir que l'on avait :

2$\rm~21\times(-42084)+34\times26052~=~2004

On a donc :

2$\rm~\array{rcl$21\times(-42084)+34\times26052&=&21a+34b\\34(26052-b)&=&21(a+42084)}

Or, 34 et 21 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 34 divise (a+42084), et 21 divise (26052-b), ce qui veut dire qu'il existe 2$\rm~k~\in~\mathbb{Z} tel que :

2$\rm~\array{rcl$a+42084&=&34k\\a&=&34k-42084}~~~~~~~~\array{rcl$26052-b&=&21k\\-b&=&21k-26052\\b&=&-21k+26052}

Ainsi, les solutions de l'équation  2$\rm~21a+34b~=~2004  sont de la forme :  2$\rm~\{a=34k-42084;b=-21k+26052\}   (pour 2$\rm~k~\in~\mathbb{Z}).

***Il faut à présent se rappeler que l'on veut a inférieur à b.
On a donc :

2$\rm~\array{rcl$a&<&b\\34k-42084&<&-21k+26052\\55k&<&68136\\k&<&\frac{68136}{55}\\k&\leq&1238~~~~(car~k~\in~\mathbb{Z})}

Conclusion : L'énigme a une infinité de solutions qui sont de la forme :  2$\rm~\{a=34k-42084;b=-21k+26052\}, avec  2$\rm~k~\in~\mathbb{Z}  et  2$\rm~k~\leq~1238.

Exemple : a=-41744 et b=25842  (k=10 dans ce cas-ci).


a et b entiers naturels
Ici, il suffit à partir des solutions trouvées précédemment d'ajouter les conditions traduites dans le système suivant :

2$\rm~\{{a\geq0\\b\geq0}

2$\rm~\{{34k-42084\geq0\\-21k+26052\geq0}

2$\rm~\{{34k\geq42084\\-21k\geq-26052}

2$\rm~\{{k\geq\frac{42084}{34}\\k\leq\frac{26052}{21}}

2$\rm~\{{k\geq1238\\k\leq1240}     (car k est un entier relatif)

Ce qui veut dire que pour que a soit un entier naturel et b également, il faut que k=1238 ou que k=1239, ou que k=1240.
Or, pour que a soit inférieur à b, il faut que k soit inférieur ou égal à 1238.

Conclusion : Si a et b sont des entiers naturels, cette énigme n'admet qu'une seule solution qui est la suivante : a=8 et b=54

(Je pense que c'est celle-ci que Victor attendait ).

Voili, voilou .
Bonne chance à tous , et merci à Victor pour cette énigme

En espérant avoir juste ,

À +

Posté par
siOk
re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 29-10-04 à 10:18

perduBonjour

Je propose comme réponse:  a = 0   et    b = 2004 / 55  

Et si Victor tiens à des entiers:
a = -42 084   et    b = 26 052

Posté par claireCW (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 29-10-04 à 10:38

perduSoit U1 et U2, les deux premiers termes de la suite.

Un = a(n) U1 + b(n) U2

Un+2 = a(n+2)U1 + b(n+2)U2
                = Un+1 +Un  
                = a(n+1)U1 + b(n+1)U2 + a(n)U1+ b(n)U2
                = [a(n+1)+ a(n)] U1 + [b(n+1) + b(n)]U2
a(n) et b(n) sont donc aussi deux suites construites de la même manière.

a(1) = 1; a(2) = 0;
b(1) = 0; b(2) = 1;

a(3) = 1; a(4) = 1;  a(n) commence par (1;0;1;1;2;...)
b(2) = 1; b(3) = 1; b(n) commence par (0;1;1;2;...)
donc on peut se raccrocher à la suite de fibonacci donnée dans l'énoncé.
a(4) est attaché au premier terme de la suite de Fibonacci, donc a(10) est attaché au 7 ème terme, donc a(10) = 21.

b(3) est attaché au premier terme de la suite de Fibonacci, donc b(10) est attaché au 8 ème terme, donc b(10) = 34.

On cherche donc U1 et U2 tels que 2004 = 21U1 + 34U2.

Et là, on triche, et on prend excel, qui donne comme solutions possibles (76,12); (42;33); (8;54)

Posté par lapinou (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 29-10-04 à 11:36

Les 2 premiers nombres:

22,5 et 45

Posté par Graubill (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 29-10-04 à 15:47

perduU0=-9
U1=42

Posté par titimarion (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 29-10-04 à 19:25

gagnéJe sais que l'on a droit qu'a une réponse je n'avais pas vu que a et B devait être des entiers naturels, sinon j'auraisquand même donner la bonne réponse, je voulais m'amuser un peu.tant pis pour moi
Je donne quand même la réponse attendu qui était
A=8
B=54
J'aurais du l'ajouter à mon premier message.

Posté par
franz
re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 29-10-04 à 21:44

gagnéSolution:
le premier terme vaut 8, le second 54

Explication:
On montre que
u_{10}= 2004 = 34.u_{2} + 21.u_{1}  (1)

Or
1 = 34.13 - 21*21 (propriété de la suite de Fibonacci)
D'où
2004 = 34.13.2004 - 21*21 .2004 (2)

En soustrayant (1) et (2)
0= 34.(u_2-13.2004)-21.(u_1-21.2004)
Comme 34 et 21 sont premiers entre eux
il existe k entier relatif tel que\left{\begin{tabular}u_1+21.2004&=&34.k\\u_2-13.2004&=&21.k\end{tabular}

Pour que u1 et u2 soient dans , k[1238,1240]


Cela donne trois couples possibles (8,54), (42,33) et (76,12). Comme u1<u2, seul le premier convient.

Posté par minotaure (invité)re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 30-10-04 à 11:06

gagnésalut
1er terme   A
2eme terme  B
3eme        A+B
4           A+2B
5           2A+3B
6           3A+5B
7           5A+8B
8           8A+13B
9           13A+21B
10          21A+34B

21A+34B=2004
on remarque que A=8 B=54 est solution
les autres solutions sont donnees par
A=34k+8, B=-21k+54, k dans Z

A et B etant des entiers naturels et A=<B on a donc
une seule solution A=8 et B=54



Posté par
Victor
re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 30-10-04 à 12:56

Bonjour à tous,

je clôture cette énigme un peu en retard mais cela a permis à minotaure de répondre

Je suis désolé pour l'imprécision de l'énoncé. Effectivement, j'avais oublié de préciser que A et B étaient des entiers naturels. J'ai seulement modifié l'énoncé hier vers 16 h. Donc rassure-toi, titimarion, tu n'avais effectivement pas vu que les nombres A et B étaient des entiers.
J'ai donc accepté toutes les réponses qui vérifiaient les conditions (imprécises) de l'énoncé.
Par contre, deux conditions n'ont pas toujours été respectées :
- A devait être inférieur à B.
- le dixième terme devait être égal à 2004 et pas le onzième...

Bon week-end.
Bravo à tous...

@+

Posté par
dad97 Correcteur
re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point**** 30-10-04 à 13:59

gagnéBonjour,

Je viens pleurer mon poisson Rien ne sert de courir, il faut partir à point avant que vienne des contestations.
J'ai calculer avec le 11ème terme égal à 2004. Une erreur bête d'indexation puisque j'ai commencé ma suite au rang 0 et ensuite j'ai calculer U10.
Je pense que siOK l'aurais remarqué puisque sa réponse est partiellement ma réponse.

C'est dommage pour moi pour une fois que je développais mon raisonnement.

Salut

Posté par
mihajaas
re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point 29-08-16 à 08:51

Posté par
Zormuche
re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point 02-10-16 à 22:03

Bonjour je sais que l'énigme est terminée mais je comptais quand même vous partager ça lol

j'y suis allé en mode bourrin sur ma calculatrice

For(A,1,95) (parce que 21*96 > 2004)
For(B,1,58) (parce que 34*59 > 2004)
21A+34B -> K
If K = 2004 et A<B
then
disp A
disp B
stop
end end end

et j'ai trouvé 8 54 à la surprise générale, comme tout le monde.

Posté par
plumemeteore
re : Rien ne sert de courir, il faut partir à point 23-10-16 à 00:32

Bonjour.
Bonjour Victor
a, b, a+b, a+2b, ..., F(8)*a + F(9)*b
2004 = 21 a + 34 b
b est un multiple de 3
les soustractions successives de 34*3 à partir de 2004 donnent 1902, 1800, 1698, 1596 ; ce dernier nombre est divisible par 7
21 a = 1596, a = 76,  b = 12
par soustraction supplémentaire de 714, on diminue a de 34 et on augmente b de 21
après une soustraction : a = 42 et b = 33
après une deuxième soustraction : a = 8 ; b = 54 : c'est la solution
pas d'autre soustraction possible

Il est agaçant que Bézout ait démontré que ax + bx = c ont des solutions quand a, b et c sont premiers entre eux (ce qui est relativement facile) mais n'ait trouvé aucune méthode, à part le tâtonnement, pour trouver ces solutions.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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