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Rotation Complexe

Posté par
alankar 01-02-09 à 00:10

Bonsoir, voilà que je bosse sur mon dm de maths et je bute sur une petite question :

Soit un réel θ appartenant à l'intervalle ]0 ; π[.
On note M le point d'affixe z = 1+e^2iθ.

1. Montrer que le point M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1
*J'ai montré cela avec une propriété du cours .

3. On appelle M′ l'image de M par la rotation de centre O et d'angle −2θ et on note z′ l'affixe de M′.Montrer que z′ est égal au conjugué de z puis que M′ appartient à (C ).
*J'ai calculé l'image de z par la rotation d'angle -2θ et je trouve z'=1+e^-2iθ

4. Dans toute la suite, on choisit θ = π/3
.
On appelle r la rotation de centre O et d'angle -2π/3
b. Montrer que le triangle AMO est équilatéral.

c. Montrer que (C ) et C ′ se coupent en O et en M′.

d. Soit le point P symétrique de M par rapport à A. Montrer que M′ est le
milieu de [A′P].

Mais voilà je bloque sur la dernière question   .......... quelqu'un aurait-il une piste pour m'aider ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Rotation Complexe 01-02-09 à 08:53

Bonjour,

Qui est A ?

Posté par
alankarre : Rotation Complexe 01-02-09 à 19:40

Ah oui j'ai oublié de préciser cela dans l'énnoncé :

A est le point d'affixe z"= 1 et B le point d'affixe z'= 2

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Rotation Complexe 01-02-09 à 19:47

La dernière question sur laquelle tu bloques, c'est 4. ou 4.b ?

Qui est (C') ?

Posté par
alankarre : Rotation Complexe 01-02-09 à 20:31

Je bloque sur la question 4.d : Soit le point P symétrique de M par rapport à A. Montrer que M′ est le milieu de [A′P].

Bon je reposte l'énnoncé au complet et cette fois ci sans faute ^^

Soit les points A d'affixe z"= 1 et B d'affixe z'= 2
Soit un réel θ appartenant à l'intervalle ]0 ; π[.
On note M le point d'affixe z = 1+e^2iθ.

1. Montrer que le point M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1
*J'ai montré cela avec une propriété du cours .

3. On appelle M′ l'image de M par la rotation de centre O et d'angle −2θ et on note z′ l'affixe de M′.Montrer que z′ est égal au conjugué de z puis que M′ appartient à (C ).
*J'ai calculé l'image de z par la rotation d'angle -2θ et je trouve z'=1+e^-2iθ

4. Dans toute la suite, on choisit θ = π/3
On appelle r la rotation de centre O et d'angle -2π/3 et A' l'image de A par r

a.Définir l'image C' de C par r.

b. Montrer que le triangle AMO est équilatéral.

c. Montrer que (C ) et C ′ se coupent en O et en M′.

d. Soit le point P symétrique de M par rapport à A. Montrer que M′ est le
milieu de [A′P].

Voilà donc je bloque sur la derniere question a savoir la 4.d a savoir la et j'aimerai une vérification pour la question 3

Merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Rotation Complexe 01-02-09 à 20:56

3. OK

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Rotation Complexe 01-02-09 à 20:59

4.a.

Affixe de A' : 3$e^{-\frac{2i\pi}{3}}

C' : cercle de centre A' et de rayon 1.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Rotation Complexe 01-02-09 à 21:00

4.b.
3$\frac{z_O-z_A}{z-z_A}=...=e^{i\frac{\pi}{3}}
Donc O est l'image de M dans la rotation de centre A et d'angle pi/3
Donc AMO est équilatéral.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Rotation Complexe 01-02-09 à 21:01

4.c. Il est facile de montrer que O et M' appartiennent aux deux cercles.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Rotation Complexe 01-02-09 à 21:15

4.d.

P est le symétrique de M par rapport à A.
Son affixe est facile à calculer : 3$z_P=1-e^{i\frac{2\pi}{3}}

Quelle est l'affixe du milieu de [A'P] ?
3$z_{\mathrm{milieu}[A'P]} = \frac{e^{-\frac{2i\pi}{3}}+1-e^{i\frac{2\pi}{3}}}{2}
3$z_{\mathrm{milieu}[A'P]} = 1 + \frac{e^{-\frac{2i\pi}{3}}-1-e^{i\frac{2\pi}{3}}}{2}
3$z_{\mathrm{milieu}[A'P]} = 1 + e^{-\frac{2i\pi}{3}}\, \frac{1-e^{\frac{2i\pi}{3}}-e^{i\frac{4\pi}{3}}}{2}
3$z_{\mathrm{milieu}[A'P]} = 1 + e^{-\frac{2i\pi}{3}}\, \frac{2-\left( 1+e^{\frac{2i\pi}{3}}+e^{i\frac{4\pi}{3}} \right)}{2}
On reconnaît entre parenthèses la somme des termes d'une suite géométrique. Cette somme vaut 0.
3$z_{\mathrm{milieu}[A'P]} = 1 + e^{-\frac{2i\pi}{3}}\, \frac{2-0}{2}
3$z_{\mathrm{milieu}[A'P]} = 1 + e^{-\frac{2i\pi}{3}}
3$z_{\mathrm{milieu}[A'P]} = z_{M'}

Il y a peut-être plus simple...

Posté par
alankarre : Rotation Complexe 01-02-09 à 22:22

J'avais pensé à d'abord prouvé que A'M' et P etaient alignés en calculant leurs argument.

Puis prouver qie AM'P et OA'M' étaient des triangles equilateraux de cotés 1 donc A'M' = M'P

Seulement je n'arrive pas a calculer l'argument de A'M'/ M'P ....

D'ailleurs comment trouves tu que l'affixe de P est P=1-e^{i\frac{2\pi}{3}} ??
Pour ma part je trouve Zp = P=1+e^{i\frac{-\pi}{3}}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Rotation Complexe 01-02-09 à 22:26

Je n'ai pas le courage d'examiner une autre méthode que celle que j'ai proposée.

Pour répondre à ta dernière question, c'est bien la même expression.
Dans la mienne, remplace le "-" par e^(i.pi), et tu retomberas sur la tienne.

Posté par
cvaRotation Complexe 02-02-09 à 10:15

Bonjour

on peut aussi utiliser le raisonnement suivant

Soit P le point symétrique de M par rapport à A on a donc \vec{MP}=2\vec{AP}

soit zP=2zA-zM=2-e^(\frac{i\pi}{3})

On sait que A' a pour affixe e^(\frac{-2i\pi}{3}) et que M' a pour affixe e^(\frac{-i\pi}{3})

On peut alors calculer \frac{z_P+z_A'}{2}

Aprés calcul on obtient \frac{z_P+z_A'}{2}=z'

Je vous laisse mener à bien ces calculs

Bon courage

Posté par
cvaRotation Complexe 02-02-09 à 12:42

Je vous propose une autre méthode faisant appel aux vecteurs

OA=OM=M'A=AM=1 Le quadrilatére OM'AM a ses 4 cotés égaux ;il s'agit donc d'un losange donc \vec{MA}=\vec{OM'}

\vec{MA}=\vec{AP}

On a alors \vec{OM'}=\vec{AP}

Le quadrilatére OAPM' est un parallélogramme donc \vec{OA} =\vec{M'P}

OA=AM'=M'A'=OA'=1

OAM'A' est un losange et \vec{OA}=\vec{A'M'}

On a donc \vec{OA}=\vec{A'M'}

et  \vec{OA}=\vec{M'P}

il en résulte que \vec{A'M'}=\vec{M'P}

donc M' est le milieu de [A'P]

Bon courage


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