Bonjour,

pour un figure plus "représentative" il vaut mieux placer loin d'un sommet (de B et de D) et loin du centre du carré ABCD, mais passons

2)
- une homothétie transforme une droite en une droite parallèle et des points alignés en des points alignés.
- un point , son image et le centre sont alignés (cas particulier de la propriété précédente car le centre est invariant)
- elle conserve les "incidences" : l'image d'un point d'intersection est l'intersection des images

donc quelle est l'image de la droite (AD) ?
etc.

Oui ,donc l'image de la droite (AD) est la droite (PM)

oui
et "etc" ?

2-a) h(D)=M donc h(A)=P et h(C)=Q'

ce n'est pas une rédaction !!
tu te contentes de recopier la définition de l'énoncé et la question.
et ce n'est pas parce que tu parsèmes quelques "donc" et "et " que ça vaut quoi que ce soit.

forcément que
<< définition de l'énoncé "donc" résultat demandé >>
c'est vrai dans tous les énoncés pour absolument tout et n'importe quoi !!! sans avoir même besoin de penser ni de réfléchir à quoi que ce soit ni de connaitre quoi que ce soit.

ce qui est important est TOUT et en détail ce qui est caché dans ce "donc" qui ne dit rigoureusement rien du tout à part une simple recopie de l'énoncé.

dans une rédaction il y a un enchainement logique avec explicitement (phrases) quelle conséquence découle de quelle cause et pourquoi

ce n'est pas parce que une droite(AB) est transformée en une droite (CD) que A est transformé en C et B en D !

Dans ce cas


donc h[AD]=[PM]

==> h(A)=P et h(D)=M

Et h[CB]=[Q'B]

==> h(C)=Q' et h(B)=B car le centre est invariant.

Donc h(D)=M

==> h(A)=P et h(C)=Q'

toujours aussi faux

h(AD) = (MP' ) vu que (PM) est la même droite que (MP' ), c'en est juste un nom différent de cette même droite

"donc" selon toi h(A) = M et h(D) = P' ?????

Oh non ...

2-a) ABCD est un carré direct .

P et Q' étant les projetés orthogonaux du point M de (BD) respectivement sur les droites (AB) et (BC)


Sur la droite (BD) , h(D)=M et h(B)=B

Donc sur la droite (AB) , h(A)=P et h(B)=B

Aussi sur la droite (BC) , h(C)=Q' et h(B)=B.

Donc h(D)=M

==> h(A)=P et h(C)=Q

toujours la simple recopie de l'énoncé sans aucune preuve de ce qu'on demande de démontrer
mais tu ne comprends même pas ce que veut dire démontrer ....

on va le faire comme au collège



hypothèse (énoncé) : h est une homothétie de centre B qui transforme D en M
propriété : l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle
par conséquent : la droite (c) qui passe par D (je fais exprès de ne pas l'appeler (AD)) est transformée en une droite (c') parallèle à (c) et passant par l'image M de D
or : tout point de (c) est transformé en un point de (c')
donc en particulier A ∈ (c) est transformé en un point de (c') pour l'instant inconnu

propriété : un point , son image et le centre sont alignés
donc : A, son image et B sont alignes sur la droite (a) (que je fais exprès de ne pas appeler autrement)

or cette image appartient aussi à (c') on vient de le démontrer
donc l'image de A, image qui appartient à la fois à (c') et à (a), est l'intersection de (c') et de (a), c'est à dire le point P'

et là, oui, maintenant, on a prouvé que l'image de A est P'

à ce niveau on peut faire l'impasse de rappeler explicitement que deux droites perpendiculaires à une même troisième (la définition de l'énoncé dit : un carré et (MP) perpendiculaire à (AB)) sont parallèles, hein, faut pas pousser, l'important de la démonstration est la partie "homothéties".

bien sur, à ce niveau on ne rédige pas de façon aussi filandreuse
mais TOUT doit y être :

h(D) = M
donc h(AD) = (MP) ==> h(A) ∈ (MP)

h(AB) = (AB) car B est le centre de l'homothétie
==> h(A) ∈ (AB)

h(A) ∈ (MP) et h(A) ∈ (AB) ==> h(A) = (MP) ∩ (AB) = P

on devient chèvre, surtout quand il faut aller récupérer le message dans l'aperçu parce que la page de saisie a brusquement disparu suite à un dérapage de doigt déclanchant des actions totalement inattendues et imprévisible du navigateur...

***
...est l'intersection de (c') et de (a), c'est à dire le point P

et là, oui, maintenant, on a prouvé que l'image de A est P

(P' est bien entendu une faute de frappe)

D'accord ,

h(A)=P

Donc h(BA)=(MQ')  ==> h(C) (MQ')

h(CB)=CB car B est le centre de l'homothétie h.

==> h(C) (CB)

h(C) (MQ') et h(C) (CB) ==>
h(C)=(MQ') ∩(CB) =Q'

Plutôt h(D)=M au lieu de h(A)=P

et ce n'est pas la seule erreur...
h(BA)=(MQ') bein voyons ...

à re écrire entièrement plutôt que de corriger par petits bouts dans une suite de messages qui devient incompréhensible.

Oups , désolé

h(D)=M

Donc h(CD)=(MQ')  ==> h(C) (MQ')

h(CB)=CB car B est le centre de l'homothétie h.

==> h(C) (CB)

h(C) (MQ') et h(C) (CB) ==>
h(C)=(MQ') ∩(CB) =Q'

2-b)Dans le carré ABCD , P et Q' étant les projetés orthogonaux du point M de (BD) respectivement sur les droites (AB) et (BC).

h(A)=P et h(C)=Q' et h(D)=M

==> PBQ'M est l'image du carré ABCD par h.

Mes(DA;DC)=π/2
d'où Mes(AD;DC)=-π/2 et DA=DC

(car ABCD est un carré)

donc Mes(MP;MQ')=π/2 d'où

Mes(PM;MQ')=-π/2

et PM=MQ'.

3-a)

r est une rotation de centre M et d'angle π/2 +kπ : r(M;π/2+kπ) (k ) car Mes(MP;MQ')=π/2

et Mes (MQ';MP)=-π/2

et MP=MQ'

attention il manque une question.

b) Déterminer l'image de Q par r.

r(Q)=P' car Mes(MQ;MP')=-π/2 et MQ=MP'


4) En déduire que la droite (MC) est orthogonale à la droite 3-a)


r(P')=Q et r(Q')=P

Or P=h(C) =r(Q')

==> (MC) (PQ)

2-b)Dans le carré ABCD , P et Q' étant les projetés orthogonaux du point M de (BD) respectivement sur les droites (AB) et (BC).
inutile de répéter les données initiales de l'énoncé

par contre tu pouvais dire : d'après la question précédente
h(A)=P et h(C)=Q' et h(D)=M

==> PBQ'M est l'image du carré ABCD par h. mouais.

Mes(DA;DC)=π/2
d'où Mes(AD;DC)=-π/2 et DA=DC logique aurait été AD = DC

(car ABCD est un carré)

donc Mes(MP;MQ')=π/2 d'où inutile
P= h(A), Q' = h(C) M = h(D) et Mes(AD;DC)=-π/2 et AD = DC implique directement

Mes(PM;MQ')=-π/2 et PM=MQ'.

3a) r(P)=M et r(M)=Q'
l'angle de la rotation est (PM; MQ') par définition (angle entre un vecteur PM et son image MQ')
or la question précédente à montré que Mes(PM;MQ')=-π/2
l'angle de la rotation est moins pi/2

d'autre part si la rotation était de centre M comme tu le prétends, r(M) serait M (le centre est invariant dans une rotation),
or l'énoncé dit que c'est Q' !!
la rotation r n'est PAS de centre M !!

à toi de le déterminer (point à créer à partir de << l'image de PM est MQ' >>

3b) r(Q)=P' car Mes(MQ;MP')=-π/2 et MQ=MP'
et alors ?? on s'en fiche ce n'est pas une rotation de centre M !!

et conclusion fausse : r(Q) n'est pas du tout P'

r(M) = Q'
la droite (MQ) est transformée en une droite perpendiculaire à (MQ) et passant par l'image de M qui est Q' etc

4 : poubelle car s'appuie sur la 3b fausse. et fait un raisonnement faux sur ce qui est déja faux.

D'accord ,

3-b) je ne vois toujours pas la rotation tels que r(P)=M et r(M)=Q'

Çà coince vraiment ...

de façon générale si une rotation quelconque transforme A en A' et B en B', le centre est nécessairement l'intersection des médiatrices de AA' et BB'
en effet OA =OA' donc O est sur la médiatrice de AA' etc



autrement et de façon équivalente si on connait l'angle et seulement A et A'
le centre est sur la médiatrice de AA' et sur "l'arc capable", lieu des points sous lesquels on voit

Ok merci




3-a) Les médiatrices des côtés [MP] et [MQ'] se coupent au point O₁ centre du carré PBQ'M image du carré ABCD par l'homothétie de centre B telle que h(D)=M.

Ainsi les triangles O₁PM  et O₁MQ' sont des triangles rectangles isocèles de sens indirect.

Alors r est une rotation de centre O₁  (centre de PBQ'M image de O par l'homothétie qui transforme D en M) et d'angle -π/2.

r=r(O₁;-π/2).

3-b) r(Q)=C car mes(O₁Q;O₁C)=-π/2 et O₁Q=O₁C.

4) On a r(P)=M et r(Q)=C

D'où r(PQ)=(MC)

==> (MC) (PQ).

Merci beaucoup

l'homothétie ne sert que exclusivement à prouver que PBQ'M est un carré direct et rien d'autre (question 2)
ensuite elle ne sert plus à rien du tout et il n'y a aucune raison d'en parler à aucun moment dans les questions 3 ou 4.
supprimer tous les endroits où tu en parles pour des pseudo justifications de rien du tout.

PBQ'M est un carré direct et c'est tout (et PMQ'B un carré indirect)
ça a été prouvé question 2 et on n'a pas à la refaire à chaque fois en invoquant de nouveau l'homothétie. la question 2 est terminée point barre.

3-b) r(Q)=C car mes(O1Q;O1C)=-π/2 et O1Q=O1C.
tu n'as rigoureusement rien prouvé du tout
pourquoi donc mes(O1Q;O1C)=-π/2 serait égal à -pi/2 ?? tu n'en as aucune preuve!!
parce que r(Q) = C ???
tu affirmes donc que r(Q) = C parce que r(Q)= C !! ça n'a aucun sens !
ce que tu as écrit ne vaut rigoureusement rien du tout.
la 3b doit être faite comme j'ai dit :

D'accord, merci beaucoup

Je dois mettre au clair tout ceci ...

3-a) Les médiatrices des côtés [MP] et [MQ'] se coupent au point O₁ centre du carré PBQ'M.

Ainsi les triangles O₁PM et O₁MQ' sont des triangles rectangles isocèles de sens indirect en O₁.

Alors r est une rotation de centre O₁ et d'angle -π/2.

r=r(O₁;-π/2)

3-b)

3b) "etc " ça voulait dire que ça ne suffit pas du tout à terminer la question 3b !!!!!!!
ce n'est juste qu'un indice pour démarrer cette question !
à moins que tu ne soies persuadé qu'une droite, un segment et un vecteur c'est pareil
tu es le seul à croire ça.

4) OK

Bein non....

r(M) = Q'
la droite (MQ) est transformée en une droite perpendiculaire à (MQ) et passant par l'image de M qui est Q'.

Ensuite (MQ') est transformée en une droite perpendiculaire à (MQ') passant par l'image de Q c'est à dire C.

n'importe quoi

deja par l'image de Q c'est à dire C. ON N'EN SAIT RIEN
c'est justement ce qu'on voudrait bien démontrer

j'avais dit.

r(M) = Q'
la droite (MQ) que je rebaptise (d) est transformée en une droite perpendiculaire à (MQ) et passant par l'image de M qui est Q'.
c'est à dire la droite (d') illimitée (je refuse exprès de l'appeler (Q'C)



l'image de Q est donc un point X INCONNU de cette droite

pour achever la question, il faut maintenant faire intervenir des normes et des orientations de vecteurs et pas seulement de droites
le vecteur a pour image (on ne connait toujours pas X !!!!)
et on sait que , et que
ceci donne la mesure du segment [Q'X] et son orientation
permettant de savoir enfin où est X, vu que l'origine Q' est connue et sa direction (celle de (d')) aussi
(par des considérations élémentaires de mesures de longueurs avec des carrés)

autre façon de faire peut être moins "visuelle"
la rotation de centre B et d'angle -pi/2 transforme A en C et P en Q' (évident, des carrés)

donc toute rotation de centre quelconque et d'angle -pi/2 transforme n'importe quel vecteur égal à en un vecteur égal à

or (un rectangle)
la rotation qui nous intéresse, celle qui transforme M en Q', transforme donc en un vecteur égal à

or l'origine M est transformée en l'origine Q'
ce n'est plus "egal à" , c'est   lui même

faire comme ça à l'avantage de faire tout d'un coup au lieu de devoir faire séparément la direction (la droite) , la norme (les longueurs, en géométrie de collège) et le sens (le "moins pi/2")

D'accord , donc on a deux façons pour cette question...

Merci beaucoup.