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Posté par
lakere : Rotations et translations du plan 11-04-19 à 09:54

Citation :
je ne vois pas comment montrer que \theta_1 + \theta_2 =0\;\;[2\pi]


Ce n'est pas vraiment indispensable mais utile pour une saine compréhension des choses.

A ce sujet, tu connais les angles orientés de vecteurs. Connais-tu les angles orientés de droites (définis à \pi près) et les règles de calcul qui vont avec ?

En attendant, sont donnés:

  - \Omega_1 et \Omega_2

  - \theta_1 et \theta_2

  - r_1 est la rotation de centre \Omega_1 et d'angle \theta_1.

   - r_2 est la rotation de centre \Omega_2 et d'angle \theta_2.

On construit (voir la question concernant la composition des deux rotations r_1 et r_2) les droites D_1 et D_2 passant respectivement par \Omega_1 et \Omega_2 et qui font avec la droite (\Omega_1\Omega_2) les angles comme indiqué dans la figure plus haut.

  On sait que r_1\circ r_2=S_{D_1}\circ S_{D_2}

  On suppose maintenant que D_1//D_2:

Rotations et translations du plan

   r_1\circ r_2=S_{D_1}\circ S_{D_2}=t_{2\vec{u}}

Sur la figure, pour un point M quelconque du plan, on a:

  r_2(M)=M'_1 et r_1(M'_1)=M'' en sorte que (r_1\circ r_2)(M)=M''

S_{D_2}(M)=M' et S_{D_1}(M')=M'' en sorte que (S_{D_1}\circ S_{D_2})(M)=M''  

et bien sûr:  S_{D_1}\circ S_{D_2}=t_{2\vec{u}} en sorte que t_{2\vec{u}}(M)=M''

Posté par Profil Ramanujanre : Rotations et translations du plan 11-04-19 à 11:43

D'accord merci beaucoup Lake ! Super clair votre schéma

J'ai tout compris. On voit sur la figure en utilisant les angles alternes internes que :

\dfrac{\theta_1}{2} + \dfrac{\theta_2}{2} = k \pi

Par contre petit détail pourquoi on met le k \pi ? Pas trop compris ce détail.

Posté par Profil Ramanujanre : Rotations et translations du plan 11-04-19 à 11:51

Sur le schéma on voit que \dfrac{\theta_1} + \dfrac{\theta_2} = \pi

Soit \theta_1 + \theta_2 = 2 \pi

Vous avez fait une petite erreur non avec le k \pi ?

Posté par
lakere : Rotations et translations du plan 11-04-19 à 12:03

Là, pour ne pas être trop laborieux, il faut connaître les angles orientés de droites;  il n'y  a plus grand monde qui les utilise...

Soit d la droite (\Omega_1\Omega_2)

Avec les angles orientés de droites définis à \pi près:

  D_1//D_2\Longleftrightarrow (D_2,D_1)=0\;\;[\pi] puis avec des équivalences entre chaque ligne:

(D_2,d)+(d,D_1)=0\;\;[\pi]

(D_2,d)=-(d,D_1)\;\;[\pi]

qu'on peut aussi écrire avec nos notations:

   \dfrac{\theta_2}{2}=-\dfrac{\theta_1}{2}+k\pi  avec k\in\mathbb{Z}

et d'où l'on déduit:

\theta_2=-\theta_1+2k\pi

soit \theta_1+\theta_2=0\;\;[2\pi]
  

Posté par
lakere : Rotations et translations du plan 11-04-19 à 12:05

Et non, il n'y a pas d'erreur...

Posté par Profil Ramanujanre : Rotations et translations du plan 11-04-19 à 12:20

Je trouve sur la figure \dfrac{\theta_1}{2} + \dfrac{\theta_2}{2} =  \pi

Sur votre dessin vous écrivez :
\dfrac{\theta_1}{2} + \dfrac{\theta_2}{2} = k \pi

Pourquoi k \pi ?

Posté par Profil Ramanujanre : Rotations et translations du plan 11-04-19 à 12:25

Ah nos réponses se sont croisés. Merci beaucoup Lake ! J'ai compris.

Je ne connaissais pas les angles orientés de droite. Mais c'est intéressant

Posté par Profil Ramanujanre : Rotations et translations du plan 11-04-19 à 19:47

J'ai appris quelque chose au moins : dans un plan, l'angle orienté de deux droites est la classe modulo π de l'angle orienté formé par leurs vecteurs directeurs

Posté par
lakere : Rotations et translations du plan 11-04-19 à 20:54

Oui, vu à ras des pâquerettes, sur une droite (non orientée), on peut choisir un vecteur directeur dans un sens ou dans l'autre...

Posté par
lakere : Rotations et translations du plan 12-04-19 à 09:14

Au fait, à la page précédente pour la question 4), tu t'es trompé:

  tu as construit le centre de la rotation r_2\circ r_1 mais pas celui de r_1\circ r_2.

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