Bonjour.

Mon problème n'a rien à voir avec celui qu'on trouve habituellement [ou du moins que j'ai trouvé en fouinant sur internet...] sous le nom de 'roue des couleurs' avec la Théorie des Couleurs et ces histoires de couleurs 'opposées' sur la roue.
(Je ne crois pas du moins)

Il s'agit du nom donné à mon sujet de Maths en Jeans (comprendre 'initiation à la recherche en maths').
Comme c'est de la 'recherche', on a le droit de communiquer avec des gens qui pourraient nous aider et partager leur science avec nous. Alors comme on est un peu bloqués, j'viens quérir vos lumières...

On a deux roues concentriques. Une grande et une petite, donc, et dans la grande on dispose n jetons de n couleurs différentes. Dans la petite, on dispose, de façon à ce qu'ils soient alignés avec ceux de la grande, n jetons de k couleurs différentes. k étant compris entre 1 et n.
On a 'gagné' lorsqu'à chaque tour que l'on fait, une et une seule couleur de la petite roue est alignée avec son homologue de la grande roue.

Le 'but du jeu' est de trouver dans quelles conditions on gagne, comment, pourquoi, et selon les cas.

Donc, on note ca R(n,k). On voit tout de suite qu'on gagne à chaque fois avec R(n,1).
Ensuite...
On a remplacé les couleurs par des chiffres, de façon à mieux voir et à avoir un champ d'action plus large.
Après maintes expérimentation, nous en sommes venus à la conclusion que dans certains cas, on pouvait (apparemment) faire marcher le 'jeu'.

(Hu, c'est encore plus long à expliquer que ce que je craignais)

On a vu que ça marchait avec n=k impair, et une disposition de départ particulière : on aligne le chiffre le plus grand, puis on range les chiffres dans l'ordre décroissant en commençant par les pairs, puis les impairs. En mettant la roue à plat, pour R(5,5), on aurait au départ :
1 2 3 4 5
2 4 1 3 5
Et pour R(7,7) :
1 2 3 4 5 6 7
2 4 6 1 3 5 7

Maintenant, il faudrait qu'on démontre.
(On pourrait bien sûr chercher d'autres conjectures, (on en a, d'ailleurs) mais on voudrait bien démontrer celle-là...)

Pour rendre les choses plus faciles, on a 'rangé' tout ça dans une matrice (n,n).
Pour la (5,5), on a :
2 4 1 3 5
5 2 4 1 3
3 5 2 4 1
1 3 5 2 4
4 1 3 5 2
On 'décale' à chaque ligne comme se 'déplacent' les chiffres sur la roue. Et ces lignes de chiffres correspondent à ceux qui sont sur la petite roue, respectivement alignés avec 1 2 3 4 5.

Alors, on voit les diagonales et très bien comment ça 'marche', le mécanisme qui permet qu'à chaque fois, il y en ai un et un seul aligné, mais nous n'avons absolument pas la plus petite idée de comment le démontrer. Il nous manque le starting-block...

Parait que c'est facile... Mais notre problème vient du néant total d'idées.
D'autant qu'on pense qu'en ayant l'Idée de départ ici, on pourrait la détourner pour les autres conjectures...

Alors, si jamais vous avez une petite idée, une piste, ou quelque chose comme ça, ça m'aiderait beaucoup et ça me ferait même drôlement plaisir...
[C'est marrant de chercher, mais quand on trouve plus rien, ça devient très agaçant]

Merci !