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rubiks-cube
Bonjour,
L'image représente la vue éclatée d'un Rubiks-cube dans lequel chacune des six couleurs est présente au moins une fois sur chaque face.
Combien peut-on construire de cubes différents qui respectent cette condition
Bonjour
je vois les choses ainsi :
Rouge , vert, blanc, jaune , bleu , marron
4 1 1 1 1 1 ---> 6 possibilités pour ce coloris ,pour ce coloris, apres il existe C(9,4)*5! dispositions de ces couleurs pour une face soit donc 6.C(9,4)*5!
3 2 1 1 1 1 ---> 30 possibilités pour ce coloris,apres il existe C(9,3)*C(6,2)*4! dispositions de ces couleurs pour une face soit donc 30*C(9,3)*C(6,2)*4!
2 2 2 1 1 1 ---> 20 possibilités pour ce coloris, apres il existe C(9,2)*C(7,2)*C(5,2)*3! dispositions de ces couleurs pour une face soit donc 20*C(9,2)*C(7,2)*C(5,2)*3!
1 1 1 1 1 1 ---> 1 possiblité pour
ce coloris,apres il existe 9*8*7*6*5*4 dispositions de ces couleurs pour une face soit donc
ce qui fait en tout 1965600 facons de colorier une face du cube (en teant compte du fait qu'on va chercher dans quelle case une couleur va aller )
pour 6 faces je dirais 19656006 choix possible
Bonjour,
Le fait de donner une face n'impose t-il pas que les couleurs des coins
soient adaptées aux 2autres faces adjacentes,ce qui réduirait le nombre de choix ?
Bonjour,
la remarque de dpi me semble judicieuse. On peut faire la même
remarque à propos des arêtes.
dpi a raison. Il faut tenir compte de la réalité physique ,(mécanique) du Rubik's cube. Ce que je n'ai pas fait.
J'ai essayé de répondre à un problème différent. Soit un cube. Chacune de ses face est divisée en 9 carrés comme indiqué sur le croquis. De combien de façons peut-on colorier chacun des petits carrés, de telle sorte que, etc.
Je me retire discrètement...
.
Bonjour,
tant qu'à tenir compte des coins (3 couleurs différents) et des arêtes (deux couleurs différentes )
autant continuer dans cette voie et imposer que chaque couleur soit utilisée 9 fois exactement en tout et que les centres de chaque face soient tous les six différents... (histoire de faire un "presque vrai" Rubiks cube)
attention, un vrai Rubiks cube mélangé est encore un autre problème différent !
ce qui est aussi un problème différent de simplement mélanger les 54 gommettes adhésive d'un Rubiks cube de toutes les façons possibles avec la seule contrainte indiquée au départ.
et de tous les coloriages avec autant de gommettes que l'on veut de chaque couleur.
d'autre part si on tourne un cube dans l'espace c'est toujours le même cube...
les faces ne sont donc pas indépendantes.
tout dépend si on veut un coloriage du cube, ou si on veut un coloriage de ce patron fixé, ou de 6 carrés de 3x3 en vrac.
mais réalisable comment ?
en manipulant un vrai cube, ou en recollant les gommettes ?
en manipulant un vrai cube les facettes centrales sont immuables
de plus la "torsion" totale des coins est constante et = 0 et le "flip" total des arêtes aussi.
(les orbites du groupe des permutations d'un Rubiks cube, Cf littérature sur le sujet)
Bonjour,
Pour bien assimiler le principe,je propose de raisonner sur un Rubiks-cube de 6 couleurs mais avec des faces de 4.
Nous voyons que la face 1 dispose de 1296 arrangements possibles.
Chaque arrangement enlevant aux 4 faces adjacentes 2 séries d'arrangements par exemple pour bleu au NE le bleu bien sûr et le rouge .J'ai choisi de noter les couleurs dans l'ordre alphabétique
donc bleue=2 et 5= rouge.
Ceci étant valable aussi pour orange en SE qui enlève aussi 2 séries (orange et vert)
soit pour la face adjacente un total de 432 arrangements.
J'arriverai à 1296x432*432*432*432*432
19^15.
Je n'ose imaginer pour le vrai énoncé....
Mais j'ai un doute pour la face opposée .
Exemple :
avec 6 couleurs, on ne peut pas avoir : chaque couleur au moins une fois sur chaque face" sur un cube 2x2x2 vu qu'il n'y a que 4 facettes par faces !
on va libérer cette contrainte
un cube 2x2x2 existe (ça doit être assez rare à trouver en boutique)
on peut le simuler avec un 3x3x3 dont on ne considère que les coins (on ignore les facettes centrales et les arêtes)
mais même avec le 2x2x2 il y a des contraintes fortes car seuls les enchainements de rotations d'une face sur elle même sont autorisés (on manipule, on ne décolle pas les gommettes pour les recoller ailleurs !)
d'autre part si on "regarde" simplement le même cube sous un autre angle, c'est le même cube !
ainsi en partant d'une configuration "canonique" (où les faces sont unicolores) on peut observer cette configuration juste sous un autre angle et obtenir un patron "apparemment différent"
de plus faire pivoter un seul coin sans toucher au reste est impossible avec les mouvements légaux (sans démonter le cube ou décoller les gommettes)
modifier les couleurs des coins est tout aussi impossible :
dans la configuration canonique il n'existe aucun coin RBO ni aucun coin BJJ
bref déja sur le 2x2x2 ce n'est pas de la tarte de dénombrer toutes les configurations réalisables de ce cube.
le nombre de configurations du cube normal 3x3x3 est donné dans la littérature (avec la théorie des groupes)
mais ici on veut imposer que chaque face contienne au moins une facette de chaque couleur, c'est à dire un sous ensemble de ces configurations, alors ...
Mon but n'était pas de placer 6 couleurs sur une face de 4 cases...
(je vieillis mais pas à ce point) ,mais de mettre en avant l'influence d'une face sur les faces adjacentes.
De plus j'ai considéré que nos dés avaient 6 faces alors que ceux
du Rubik's cube 3x3x3 n'en ont que 3. (26 pièces sur 27).
De plus j'ai considéré que nos dés avaient 6 faces alors que ceux
du Rubik's cube 3x3x3 n'en ont que 3. (26 pièces sur 27).
ce sur quoj j'insiste est que compter des combinaisons de couleurs ne suffit pas du tout à ne garder que celles qui peuvent être obtenues sur un véritable Rubiks cube en le manipulant (précision de royannais le 24-05-22 à 21:35)
loin de là.
Bonjour,
J'abandonne mon idée de simplification avec des dés 2x2.
J'ai décortiqué un authentique Rubik's cube .
Observations:
Il est formé de 26 pièces plus 1 pièce centrale de montage et de rotation.
8 pièces d'angle (sommets) de 3 couleurs
12 pièces de coté (arêtes) de 2 couleurs
6 pièces cenrales de 1 couleur
J'ai numéroté les pièces selon l'agencement de leurs arêtes.
On voit ainsi que le problème se "résume" à trouver le nombre de combinaisons d'une face puis d'en déduire avec les liaisons le nombre nettement inférieur de celles des autres faces.
Vu la difficulté ,je ne vois qu'un bon programme
"avec les liaisons"
hum... simplement toutes les configurations d'un Rubiks cube : voir la théorie
je cite :
Il y a deux orientations possibles pour chacune des douze arêtes. Étant donné qu'on ne peut pas changer l'orientation d'une arête seule, l'orientation de toutes les arêtes fixe l'orientation de la dernière. Cela donne 211 possibilités d'orientation des arêtes ;
Il y a trois orientations possibles pour chacun des huit coins. De même, on ne peut pas retourner un coin seul, l'orientation du dernier coin est donc fixée par les autres. Cela donne 37 possibilités d'orientation de coins ;
Les arêtes peuvent s'interchanger entre elles, ce qui donne 12! possibilités de positionnements pour les arêtes ;
Les coins peuvent s'interchanger entre eux. Cela fait 8! possibilités ;
Mais il existe un problème dit de parité : on ne peut échanger juste deux coins ou deux arêtes (mais on peut interchanger deux coins et deux arêtes). La position des arêtes et des premiers coins fixe donc la position des deux derniers coins et il faut donc diviser le résultat par deux.
Ce qui donne : (211* 37*12!* 8!)/2 = 210*37*12!* 8!
mais ... cette théorie s'adapte très mal à "chaque face contenant chacune des 6 couleurs" (des 5 autres que le centre)
Bonjour
royannais votre problème est intéressant et me fait penser à quelque chose d'autre. Je n'ai malheureusement pas le temps de m'y plonger avant deux ou trois semaines, je reviendrai bien plus tard. Les interventions de mathafou sont riches et je ne veux pas lancer de fausses pistes, je prie donc aux futurs curieux d'ignorer mon message pour le moment et de concentrer vos pensées sur les précédentes pistes...
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Bonne journée
Je tente une réponse pour la face de départ
En numérotant les couleurs
il y a 720 arrangements de 123456
il y a 216 arrangements pour 111 à 666 qui sont les autres cases
à combler et 27 arrangements pour placer chacun.
J'arrive à 420x216x27 soit 4 199 040 possibilités d'avoir au moins une fois chaque couleur sur la face de départ .
les faces adjacentes sont privées de 1/3 de ces possibilités (cf 26/05 09h29).
Je me lance donc pour 2.25576.10^37
Mais je n'en suis pas du tout sûr.
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