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Salle de spectacle

Posté par
flight
30-08-21 à 17:26

Bonjour , je vous propose l'exercice de probabilité suivant ;

Une salle de spectacle peut accueillir 8 personnes et  les assises sont disposées comme suit :
3 rangées de 4 fauteuils notées R1,R2 et R3 ( ou si vous préférez ces sièges forment une une grille 3x4) . 8 enfants dont 4 garçons et 4 filles entrent dans la salle de spectacle et choisissent chacun une place au hasard.
Si on note  X la variable aléatoire égale au nombre de garçons assis
dans la première rangée (R1) , alors par combien de garçons en moyenne cette rangée pourrait être occupée ?

Posté par
carpediem
re : Salle de spectacle 30-08-21 à 17:51

salut

flight @ 30-08-2021 à 17:26

Une salle de spectacle peut accueillir 8 personnes et  les assises sont disposées comme suit :
3 rangées de 4 fauteuils notées R1,R2 et R3 ( ou si vous préférez ces sièges forment une une grille 3x4) .
3 \times 4 = 8 ...   

Posté par
flight
re : Salle de spectacle 30-08-21 à 21:22

salut  Carpediem , oui la salle peut accueillir 8 personnes max ( covid oblige :D)  bien qu'il y ait une capacité de 12 places , donc 8 personnes entrent et prennent place

Posté par
ty59847
re : Salle de spectacle 31-08-21 à 09:06

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Posté par
carpediem
re : Salle de spectacle 31-08-21 à 09:34

ty59847 :

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Posté par
flight
re : Salle de spectacle 31-08-21 à 20:38

bravo à tout les deux , c'est bien 4/3 ,

Question subsidiaire ,Quelle est la loi de X ?

Posté par
carpediem
re : Salle de spectacle 01-09-21 à 18:36

loi binomiale de paramètres 4 et 1/3 ...

Posté par
ty59847
re : Salle de spectacle 01-09-21 à 18:42

Non,
Loi binomiale signifierait que chaque garçon qui entre a le choix entre 12 places.  
Le premier a effectivement le choix entre 12 places, mais le 2ème n'a plus que 11 places à disposition.
Bonus : Et s'il est copain avec le premier, il va choisir de se mettre à côté de son pote, si c'est un chamailleur, il va choisir le dernier rang pour tirer les cheveux des filles devant lui , etc etc

Posté par
carpediem
re : Salle de spectacle 01-09-21 à 18:59

pas d'accord : on ne s'occupe pas de savoir où le garçon va s'assoir dans la rangée R1 mais si il s'assoit dans cette rangée ou dans une autre ...

Posté par
ty59847
re : Salle de spectacle 01-09-21 à 20:04

Loi binomiale de paramètres 4 et 1/3
4 : parce qu'il y a 4 garçons. Ok, je suis d''accord.
1/3 : parce que 1 tiers des places 'acceptées' sont sur la 1ère rangée.  Oui.  Mais non.

Si on applique ce raisonnement, la réponse sera la même si on a une salle avec 3 rangées de 5 places, 3 rangées de 10 places ... ou 3 rangées de 3 places.

Donc tu vas dire qu'on peut asseoir 4 garçons sur la première rangée, et que cet événement a une proba de (1/3)4 ... même si il n'y a que 3 places dans chacune des rangées.

Ce serait exact si un garçon avait le droit de s'asseoir sur une place déjà occupée.
Mais dans mon esprit, on a droit à maximum un garçon par place.
Seules les demoiselles peuvent s'asseoir sur les genoux des garçons. Je sais, je suis un vieux réac homophobe

Posté par
carpediem
re : Salle de spectacle 01-09-21 à 21:15



je pense que mon raisonnement est valable pour toute situation où on peut placer tous les garçons sur une même rangée ...

dans le cas de trois rangées de trois sièges effectivement ce n'est plus valable ... et la moyenne ne sera pas non plus la même ... mais elle reste la même (avec mon raisonnement) quel que soit le nombre de sièges par rangée supérieur à 4 ...

Posté par
ty59847
re : Salle de spectacle 01-09-21 à 22:29

Encore une fois, oui, mais non.
Imaginons une variante de l'énoncé :
Chaque enfant choisit une rangée au hasard, une rangée avec au moins une place disponible (1 chance sur 3 pour chacune des 3 rangées), puis il choisit une place dans cette rangée.
Ok. Dans cette variante, la loi binomiale s'applique, dans le cas que tu dis.

Mais l'énoncé dit : chaque enfant choisit une place au hasard.
Mon interprétation, c'est que s'il reste 11 places, avec une place occupée en rangée R, alors l'enfant qui entre en 2ème a une proba de 3/11 de choisir cette rangée R, et une proba de 4/11 pour chacune des 2 autres rangées. Plus directement, les 11 places restantes ont toutes la même probabilité d'être choisies.
Et donc la loi binomiale ne s'applique pas.
Pour une loi binomiale, il faut que les 'tirages' soient indépendants les uns des autres, et ce n'est pas le cas ici.
Même si on a des rangées de 10 ou 20 places pour 4 enfants.

Posté par
ty59847
re : Salle de spectacle 01-09-21 à 23:53

Bon, après des calculs un peu longs, voici ce que ça donne.
Le 1er garçon a 12 possibilité, le 2ème en a 11, ... ça donne 12*11*10*9=11880 possibilités.
Parmi ces 11880 possibilités, on peut avoir 4 garçons sur une même rangée ( la 1  ou une autre ..) Soit 12 places pour le 1er garçon, 3 pour le 2ème, 2 pour le 3ème et 1 pour le 4ème , 72 cas.
On continue ...
3 garçons sur une ligne et 1 sur une autre, 2304 possibilités
2 garçons sur une ligne et 2 sur une autre, 2592 possibilités
2 garçons sur une ligne et 1 sur chaque autre ligne, 6912 possibilités.
La somme fait bien 11880, ouf.

Ensuite, pour chacune des 4 configurations, par exemple pour la 1ère, la ligne 1 peut être celle avec 4 garçons (1 cas) ou une des 2 sans garçon (2 cas) etc etc

Nombre de cas où on a 4 garçons sur la rangée 1 : 24=0.2%
3 garçons sur la rangée 1 : 768=6.46%
2 garçons sur la rangée 1 : 4032=33.94%
1 garçon sur la rangée 1 : 5376=45.25%
Aucun garçon sur la rangée 1 : 1680=14.14%

La moyenne pondérée de tout ça fait bien 4/3 , ouf !

Posté par
carpediem
re : Salle de spectacle 02-09-21 à 09:49

tu as raison mais je pense que nous choisissons chacun un modèle d'univers qui convient ...

une autre façon de voir les choses : placer 4 objets dans 3 boites A, B et C :

les dispositions sont les suivantes :

A  B  C             nombres d'issues
4  0  0                              1
3  1  0                              4
3  0  1                              4
2  2  0                              6
2  0  2                              6
2  1  1                             12
1  1  2                             12
1  2  1                             12
1  0  3                               4
1  3  0                               4
0  4  0                               1
0  0  4                               1
0  3  1                               4
0  1  3                               4
0  2  2                                6

ce qui fait un total de 81
et la moyenne du nombre de garçons par rangée est (1 * 4 + 8 * 3 + 24 * 2 + 32 * 1 + 16 * 0)/81 = 4/3

Posté par
flight
re : Salle de spectacle 02-09-21 à 11:16

salut à tout les deux ... je pensais pas que la seconde question pouvait créer des désaccords
très simplement :

P(X=0g)=C(8,4)*4!*C(8,4)*4! / C(12,8)*8! = 1680/11880

P(X=1g)=C(4,1)²*!C(8,3)*3! *C(8,4)*4!/ C(12,8)*8! =5376/11880

P(X=2g)=C(4,2)*(C4,2)*2!)*C(8,2)*2! *C(8,4)*4!/ C(12,8)*8! =4032/11880

P(X=3g)=C(4,3)²*3! *C(8,1)*C(8,4)*4!/ C(12,8)*8! =768/11880

P(X=4g)=C(4,4)*4! *C(8,4)*4!/ C(12,8)*8! =24/11880

vérification : 1680 + 5376 + 4032+768+24 = 11880

Posté par
flight
re : Salle de spectacle 02-09-21 à 11:17

dans la première rangée  , on choisit les places puis on choisit les garçons qu'on va distribuer sur ces places (en tenant compte des permutations possibles )

Posté par
ty59847
re : Salle de spectacle 02-09-21 à 12:13

Et du coup, si on avait 5 places sur chaque rangée, au lieu de 4, on aurait un résultat différent.
Toujours 4/3 au final, mais une fonction de répartition différente.

Et si on avait 4 places sur la 1ère rangée,  et 5 places sur les 2 autres rangées, là, on n'aurait même plus 4/3  au final.



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