Niveau terminale

salut g un dm g absolument besoin de vous

Posté par killer (invité) 28-11-04 à 11:28

bonjours a tous
g un dm et je n'est rien compris a cette fonction aider moi stp

voici l'exercice :
on considére la fonction f defini sur ]0;+00[ par
f(x) = lnx - 3(lnx)²

- faitre l'etude de f
- etudier le signe de f(x) et donner le tableau de
variation avec les limites en - et + 00

et voici une autre fonction :
  f(x) = ln(1+ex)

- domaine de definition et variation de f avec les limite en + et - 00
- montrer que f admet une asymptote y = x

merci infiniment de votre aide

Posté par re : salut g un dm g absolument besoin de vous 28-11-04 à 12:36

Bonjour

$3$f(x)=ln(x)-3ln^{2}(x)$

I)Etude de f

a)Ensemble de définition:
$f$ est définie pour $x>0$ , c'est-à-dire :

$\fbox{D_{f}=\]0;+\infty[}$

b)Calcul de limites:
-limite en 0 :
$\lim_{x\to 0} ln(x)= -\infty$
Donc :
$\lim_{x\to 0} f(x)=(-\infty)+(+\infty)$
On est donc en présence d'une forme indéterminée . Manipulons un peu f pour arranger tout ça :
$f(x)=ln(x)[1-3ln(x)]$
$\lim_{x\to 0} (1-3ln(x))=+\infty$
$\lim_{x\to 0} ln(x)=-\infty$
On en déduit par produit de limite :
$\lim_{x\to 0} f(x)=-\infty$

-limite en +oo
Toujours en prenant :
$f(x)=ln(x)[1-3ln(x)]$ :
$\lim_{x\to +\infty} ln(x)=+\infty$
Donc :
$\lim_{x\to \infty} 1-3ln(x)=-\infty$
On en déduit :
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$

Conclusion: $\fbox{\begin{eqnarray}\lim_{x\to 0} f(x)=-\infty\\\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty\end{eqnarray}}$

c)Dérivée
f est dérivable sur son ensemble de définition , i.e sur $]0;+\infty[$ et , pour tout x de cette intervalle :
$\begin{tabular}f'(x)&=&\frac{1}{x}-3\times2\frac{1}{x}ln(x)\\&=&\frac{1}{x}-\frac{6ln(x)}{x}\\&=&\frac{1-6ln(x)}{x}\end{tabular}$

Conclusion: $\fbox{f'(x)=\frac{1-6ln(x)}{x}}$

d)Signe de la dérivée
Cherchons les valeurs annulants notre dérivée :
$\begin{tabular}1-6ln(x)=0&\Longleftrightarrow&-6ln(x)=-1\\&\Longleftrightarrow&ln(x)=\frac{1}{6}\\&\Longleftrightarrow&x=e^{\frac{1}{6}}\end{tabular}$

On en déduit :
$\rm\fbox{\begin{eqnarray}&-f'(x)&~est~positive~pour~x\in]0;e^{\frac{1}{6}}[\\&-f'(x)&~est~nulle~pour~x=e^{\frac{1}{6}}\\&-f'(x)&~est~negative~pour~x\in]\frac{1}{6};+\infty[\end{tabular}}$

e)tableau de variation
Et vient alors le tableau de variation :
$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&0&&&e^{\frac{1}{6}}&&+\infty \\\hline{f'(x)}&||&&+&0&-& \\\hline{}&&&&f(e^{\frac{1}{6}})&&\\{f}&&&\nearrow&&\searrow&&\\{}&-\infty&&&&&-\infty\end{tabular}$

II)Etude du signe de f(x)

$f(x)=ln(x)-3ln^{2}(x)$
$f(x)=ln(x)[1-3ln(x)]$

Cherchons les valeurs annulant f(x) :
$\rm\begin{tabular} f(x)=0&\Longleftrightarrow&ln(x)[1-3ln(x)]=0\\&\Longleftrightarrow&ln(x)=0~&ou&~1-3ln(x)=0\\&\Longleftrightarrow&ln(x)=0~&ou&~ln(x)=\frac{1}{3}\\&\Longleftrightarrow&x=1~&ou&~x=e^{\frac{1}{3}}\end{tabular}$

Voila alors le tableau de signe :
$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline{x}& 0&&1&&e^{\frac{1}{3}}&&+\infty\\\hline{ln(x)}&||&-&0&+&|&+&\\\hline{1-3ln(x)}&||&-&|&-&0&+&\\\hline{f(x)}&||&+&0&-&0&+&\\\hline\end{tabular}$

Je te laisse faire de même pour la deuxiéme

Jord

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