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sans puissances
Bonjour, j'ai un devoir à faire mais il y a un exercice que
je n'arrive pas à faire et que je ne comprend pas. J'aurai
besoin d'aide:
Le but de cet exercice est de déterminer combien de chiffres sont nécéssaires
pour écrire 2000^2000 sans utiliser de puissance.
1°) A l'aide d'une calculatrice, déterminer un entier "a"
tel que:
a*10^74< 2^250< (a+1)*10^74
2°) En déduire un encadrement de 2^2000 sous forme:
b*10^601< 2^2000< c*10^601
3°) Utiliser ce qui précède pour déterminer combien de chiffres sont
nécessaires pour écrire sous forme décimale la valeur exacte de 2000^2000.
4°) A raison de 2mm par chiffre et d'un saut de 1mm tous les trois
chiffres, quelle serait la longueur de l'écriture de ce nombre?
J'ai pourtant essayé plusieurs fois mais je n'y suis pas arrivée.
J'aimerai savoir comment il faut faire. Merci d'avance
1°)
2^250 / 10^74 = 18,09...
18.10^74 < 2^250 < (18+1).10^74
a = 18
------------
2°)
2^2000 = (2^250)^8
[18.10^74]^8 < (2^250)^8 < [(18+1).10^74]^8
11019960576.10^592 < (2^250)^8 < 16983563041.10^592
11,019960576.10^601 < (2^250)^8 < 16,983563041.10^691
11.10^601 < (2^250)^8 < 17.10^691
11.10^601 < 2^2000 < 17.10^691
-------------
3°)
Il faut donc 2 + 601 = 603 chiffres pour écrire 2^2000.
2000^2000 = (2*1000)^2000 = 2^2000 * 1000^2000
1000^2000 = (10^3)^2000 = 10^6000
Il faut donc 603 + 6000 = 6603 chiffres pour écrire 2000^2000
-------------
Vérifie si je ne me suis pas planté avant de faire le point 4.
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