Bonsoir,

Tu n'as pas plus d'information au sujet de ton devoir ?
Pour moi elle sont juste parallèle mais je ne vois pas pourquoi elle serait nul.
Si on considère u,v et w alors on peut en déduire que ce sont des vecteurs non nul.

Merci de me donner plus d'information il est possible que je me trompe.

Je dois démontrer ce théorème dans mon devoir, u et v sont colinéaires ssi il existe w different de 0, tq u perpendiculaire w et v perpendiculaire w

( j'ai vraiment du mal avec les démos )

bonjour

tu veux montrer que :
qq soit (u;v) dans E²) u et v colinaires ssi (il existe w dans E) tel que (u orthogonal à w) et (v orthogonal à w)

tout d'abord ce dépend beaucoup de la dimension E ev euclidien (puisqu'on parle d'orthogonalité)

si dimE=3 cette équivalence est fausse car (u;v) peut être libre et définir un plan w est tout simplement orthogonal au plan engendré par {u;v} et en fait orthogonal à tout vecteur de ce plan puisque si p est un vecteut de ce plan p=xu+yv et donc w.p=xw.u+yw.v=0

cette équivalence n'est vraie que si dimE=2
dans ce cas
si u et v sont colinéaires : v=µu où µ apprtient à IR
   alors il existe e dans E tel que la famille {u;e} est une base de E
         si u.e=0 on prend w=e et l'on a u.w=0 et v.w==(µu).e==µ(u.e)=0
         si u.e non nul on prend w=u-(u².u.e)e
                dans ce cas on a u.w=u.(u-(u².u.e)e)=u²-(u²/u.e)u.e=u²-u²=0 et v.w=0
donc il existe w tel que u.w=0 et v.w=0

réciproquement si il existe w tel que u.w=0 et v.w=0
et supposont que u et v sont indépendants  
donc c'est une base de E et w=xu+yv
u.w=0 ssi xu²+yu.v=0 de même xu.v+yv²=0
le Déterminant de ce système est :
D=u²v²-(u.v)²
x et y non tous les deux nuls ssi D=0
                              ssi |u.v|=||u||*||v||
                              ssi (u,v) sont colinéaires d'après l'inégalité de Cauchy-Schwartz
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voila

désolé faute de frappe. veux-tu bien lire:
"si u.e non nul on prend w=u-(u²/(u.e))e
                dans ce cas on a u.w=u.(u-(u²/(u.e))e)=u²-(u²/(u.e))u.e=u²-u²=0 et v.w=0
donc il existe w tel que u.w=0 et v.w=0


réciproquement tu peux aussi considérer cet démo beaucoup plus simple:

si il existe w tel que u.w=0 et v.w=0
alors {u;w} est une base de E
donc ils existe x et y dans IR tels que v=xu+yw
w.v=0 ssi (xu+yw).w=0 ssi x(u.w)+yw²=à ssi yw²=0 ssi y=0 car w est non nul
donc v=xu+yw=xu
donc u et v sont colinéaires